\usepackage{amsfonts}
Функция $f,$ действующая из $X$ в $Y,$ называется биективной, если она взаимно однозначна и ее область значений совпадает с множеством $Y.$ Это означает, что для каждого $y \in Y$ существует единственный $x \in X,$ такой, что $y = f\left(x\right).$
Пусть функция $f: X \rightarrow Y$ биективна. Тогда каждому $y \in Y$ можно поставить в соответствие единственный $x \in X,$ такой, что $y = f\left(x\right).$ Тем самым мы получим новую функцию, действующую из $Y$ в $X.$ Такая функция называется обратной к функции $f$ и обозначается $f^{−1}.$ Например, $f\left(x\right) = x^3$ действует из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ и биективна. Тогда $f^{−1}\left(y\right) = \sqrt[3]{y}.$ Другая функция $f\left(x\right) = x^2,$ действующая из $\mathbb {R}$ в $\left[0, +\infty\right),$ не является биективной, и поэтому нельзя говорить об обратной функции. Если же мы рассмотрим функцию $f_1: \left[0, +\infty\right) \rightarrow \left[0, +\infty\right),$ действующую по правилу $f_1\left(x\right) = x^2,$ то такая функция биективна, и поэтому у нее есть обратная $f^{−1} \left(y\right) = \sqrt{y}.$ В этом примере мы пользуемся понятием сужения, т. е. функцию мы рассматриваем не на всей возможной области определения, где определяющая функцию формула имеет смысл, а лишь на части этой области. Дадим определение.
Определение. Пусть функция $f: X \rightarrow Y,$ и множество $A \subset X.$ Каждой точке $x \in A$ поставим в соответствие $y = f \left(x\right) \in Y.$ Тогда получим функцию, заданную на множестве $A,$ которую будем называть сужением функции $f$ на множество $A,$ и будем обозначать это сужение $f\mid A.$
В рассмотренном выше примере $f\left(x\right) = x^2$ функция не была взаимно однозначной на $\mathbb {R}.$ В то же время сужение $f_1 = f\mid \left[0, +\infty\right)$ – взаимно однозначная функция, и поэтому существует обратная функция.
В этом параграфе мы будем заниматься вопросом существования и свойствами обратной функции. Если обратную функцию удается явно выразить (как в рассмотренных выше примерах), то свойства обратной функции могут быть изучены непосредственно. Однако это не всегда можно сделать. Например, функция $f \left(x\right) = x + \frac{1}{2} \sin x $ взаимно однозначна, но выражение обратной функции весьма затруднительно. Мы хотим исследовать свойства обратной функции $f^{−1},$ не зная ее явного выражения.
Пусть функция $f$ определена на $\left[a, b\right].$ Очевидно, что если $f$ строго монотонна на $\left[a, b\right],$ то она взаимно однозначна. Обратное утверждение не имеет места. Например, функция $$f\left(x\right) = \begin{cases} −x, \qquad −1 \leqslant x < 0, \\ x − 1, \qquad 0 \leqslant x \leqslant 1, \end{cases}$$ очевидно, взаимно однозначна, но не является монотонной на $\left[−1, 1\right].$ Можно, однако, доказать, что если функция $f$ взаимно однозначна и непрерывна, то она строго монотонна. Мы этого не будем делать.
В дальнейшем через $\langle\alpha, \beta\rangle$ будем обозначать отрезок с концами $\alpha$ и $\beta$ (при этом неравенство $\alpha < \beta$ не обязательно).
Теорема (об обратной функции). Пусть функция $f$ строго монотонна и непрерывна на отрезке $\left[a, b\right].$ Тогда обратная функция $f^{−1}$ строго монотонна и непрерывна на отрезке $\langle f\left(a\right), f\left(b\right)\rangle.$
Рассматриваем случай возрастающей $f.$ В силу теоремы Больцано – Коши, областью значений функции $f$ является отрезок $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right].$ Так как $f$ взаимно однозначна на $\left[a, b\right],$ то существует функция $f^{−1},$ отображающая $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ на $\left[a, b\right].$ Обозначим $g\left(y\right) = f^{−1}\left(y\right).$ Покажем, что $g$ строго возрастает. Пусть $y^{\prime} < y^{\prime\prime}, x^{\prime} = g\left(y^{\prime}\right), x^{\prime\prime} = g \left(y^{\prime\prime}\right).$ Если $x^{\prime} \geqslant x^{\prime\prime},$ то $f \left(x^{\prime}\right) \geqslant f \left(x^{\prime\prime}\right)$ (в силу возрастания $f$), т. е. $y^{\prime} \geqslant y^{\prime\prime},$ что противоречит условию. Итак, получаем, что $x^{\prime} < x^{\prime\prime},$ т. е. условие $y^{\prime} < y^{\prime\prime}$ влечет $x^{\prime} < x^{\prime\prime}.$ Это и означает, что обратная функция $x = g\left(y\right)$ строго возрастает на $\left[f \left(a\right), f \left(b\right)\right].$
Областью значений обратной функции $g$ является отрезок $\left[a, b\right].$ В самом деле, каждое $x \in \left[a, b\right]$ является значением функции $g\left(y\right),$ где $y = f\left(x\right).$ Так как $g$ монотонна на $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ и ее областью значений является отрезок $\left[a, b\right],$ то, по теореме о непрерывности монотонной функции, функция $g$ непрерывна на отрезке $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right].$
Пример 1. Арксинус. Функция $f\left(x\right) = \sin x \left(−\infty < x < +\infty\right)$ не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$ Это сужение – непрерывная и строго возрастающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго возрастающая.
Арксинусом называется функция, обратная к сужению функции $\sin x$ на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$ и обозначается $\arcsin x.$ Она определена на $\left[−1, 1\right],$ имеет областью значений отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$ строго возрастает и непрерывна на $\left[−1, 1\right].$
Пример 2. Арккосинус. Функция $f\left(x\right) = \cos x \left(−\infty < x < +\infty\right)$ не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на $\left[0, \pi\right].$ Это сужение – непрерывная и строго убывающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго убывающая.
Арккосинусом называется функция, обратная к сужению функции $\cos x$ на $\left[0, \pi\right],$ и обозначается $\arccos x.$ Она определена на $\left[−1, 1\right],$ имеет областью значений отрезок $\left[0, \pi\right],$ строго убывает и непрерывна на $\left[−1, 1\right].$
Пример 3. Арктангенс и арккотангенс. Арктангенсом называется функция, обратная к сужению функции $\text{tg } x$ на $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right),$ и обозначается $\text{arctg } x.$ Функция $\text{arctg } x$ непрерывна и строго возрастает на $\left(−\infty, +\infty\right),$ область ее значений – интервал $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$
Арккотангенсом называется функция, обратная к сужению функции $\text{ctg } x$ на $\left(0, \pi\right),$ и обозначается $\text{arcctg } x.$ Функция $\text{arcctg } x$ непрерывна и строго убывает на $\left(−\infty, +\infty\right),$ область ее значений – интервал $\left(0, \pi\right).$
Упражнение. Постройте графики определенных выше обратных тригонометрических функций $y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \text{arctg } x$ и $y = \text{arcctg } x.$
Пример 4. Функция $f\left(x\right) = x^n \left(x \geqslant 0, n \in \mathbb {Z}\right)$ является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция $f^{-1}\left(x\right) = \sqrt[n]{x}.$ Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при $ n = 2m + 1 \left(m \in \mathbb {N}\right).$
Пример 5. $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}_+,$ функция $f\left(x\right) = a^x \left(a > 0, a \neq 1\right)$ является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция $f^{-1}\left(x\right) = \log_a x.$ Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при $a > 1.$
Обратная функция
Вы можете пройти данный тест, чтобы примерно оценить, насколько вы поняли тему «Обратная функция»
