Если функции $latex z=f(y)$ и $latex y=\varphi(x)$ дифференцируемы соответственно в точках $latex y_0$ и $latex x_0$, где $latex y_0=\varphi(x_0)$, то $latex z=f(\varphi(x))$ — дифференцируема в точке $latex x_0$, причём $latex z'(x_0)=f'(y_0)\cdot \varphi'(x_0)=f'(\varphi(x_0)) \cdot \varphi'(x_0)$.
Доказательство
Т.к. функции $latex f$ и $latex \varphi$ непрерывны, то $latex z(x)=f(\varphi(x))$ — непрерывны в точке $latex x_0 \Rightarrow z$ определена в $latex u_\delta (x_0)$
Если $latex y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна на $latex \Delta=[x_0-\delta;x_0+\delta] (\delta>0)$ и если $latex \exists f'(x_0) \neq 0 \Rightarrow x=\varphi(y)$ (обратное к $latex y=f(x)$) дифференцируемо в точке $latex y_0=f(x_0)$, причём $latex \varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$
Доказательство:
$latex x_0-\delta \rightarrow f(x_0-\delta)=\alpha$
$latex x_0+\delta \rightarrow f(x_0+\delta)=\beta$
По теореме об обратной функции функция $latex f$ имеет обратную $latex x=\varphi(y)$, $latex y\epsilon [\alpha;\beta]$, $latex \varphi(x)$ — строго монотонна и непрерывна.
$latex y'(y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}= $
$latex \lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}&s=2 $
Примеры
1) Доказать, что:
$latex (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, |x|<1&s=2$ График функции $latex y=arcsinx$. Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.
Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 4
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
максимум из 4 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 4
1.
Функция $latex f$ является монотонно возрастающей на $latex [a;b]$, если:
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 4
2.
Найдите производную обратной функции $latex y=\arccos(x^{2}-2)$ в точке $latex x_0=1$
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 4
3.
Найдите производную обратной функции $latex y=3x^2-5x$ в точке $latex x_0 = 1$
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 4
4.
В теореме о дифференцируемости обратной функции является ли условие $latex \exists {f}'(x)\neq 0$ необходимым?
Правильно
Неправильно
Спойлер
Таблица лучших: Тест: дифференцируемость обратной функции