Метка: непрерывная функция

Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Определение интегральных сумм и их границы

$latex \triangle $ Предел  интегральной суммы  при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков $latex max\triangle x_{k}$ стремится к нулю:

$latex \underbrace{I=\int_{a}^{b}f(x)\ dx=  \lim_{max \triangle x_{k}\rightarrow 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\triangle x_{k}.}$

называется определённым интегралом Римана  от функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ (или в пределах от a до b).$latex \blacktriangle $

Замечание.  Если функция $latex f(x)$ непрерывна на $latex [a,b]$, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка $latex [a,b]$ на элементарные отрезки и от выбора точек $latex \xi _{k}$ (теорема существования определенного интеграла).

Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

     Если $latex f(x)>0$ на $latex [a,b],$ то определённый интеграл $latex \int_{a}^{b}f(x)dx$ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции —фигуры, ограниченной линиями $latex y=f(x),\ x=a,\ y=b,\ y=0 .$

Список литературы:

• А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 244-246
• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 2), 5-е издание, 1964 г., глава 9, §1, стр. 97-100

Тест (Определенный интеграл Римана)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. История 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 14 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   
   Если функция $latex f(x)$  непрерывна на  $latex [a,b]$ , то предел интегральной суммы существует и …

   • не зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек
   • зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек
   • не зависит от способа разбиения, но зависит от выбора промежуточных точек
   • зависит от способа разбиения, но не зависит выбора промежуточных точек
   Правильно 1 / 1Баллы

   Неправильно / 1 Баллы

   Подъучи ещё и снова приходи
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 4

   
   Вычислите значения каждого интеграла и разместите их, начиная от меньшего (по значению) к большему :

   1. $latex \int_{2}^{4}xdx$

   2. $ \int_{0}^{1}e^{x}dx$

   3.$latex \int_{2}^{3}2dx$

   4. $latex \int_{2}^{2}\sin ^{2}x-x^{10}+5x^{3}$

   • 4
   • 2
   • 3
   • 1
   Правильно 4 / 4Баллы

   Неправильно / 4 Баллы
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 6

   
   Кто есть кто?

   (Риман=3 балла)

   Элементы сортировки

   • Буняковский
   • Риман
   • Ньютон
   • Лагранж
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2

   
   Интегральной суммой для функции   $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$  называется …

   • сумма вида $$\underbrace{\sum_{k=1}^{n}(\xi _{k})\triangle x_{k}}$$ где $ \triangle x_{k}=[x_{k}-x_{o}]$
   • сумма вида $$\underbrace{\sum_{k=1}^{n}(\xi _{k})\triangle x_{k}}$$ где $ \triangle x_{k}=[x_{k}-x_{k-1}]$
   • сумма площадей прямоугольников с основанием $ [x_{k}-x_{k-1}]$ и высотой $ f(\xi _{i})$
   • сумма площадей криволинейных трапеций с основанием $ \triangle x_{k}=[x_{k}-x_{o}]$ и высотой $ f(\xi _{i})$
   Правильно 2 / 2Баллы

   Неправильно / 2 Баллы
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   
   Дополните фразу:  геометрически интеграл представляет собой площадь криволинейной …
   Правильно
   

   Неправильно
   

 Определение: 

Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если  \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})\)

Определение(по Коши):

Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если: \(\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x\in X,| x-x_{0}|<\delta :|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon\)

Определение (по Гейне):

Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если для любой последовательности \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }\), \(x_{n}\in X, n\in N\), такого что, \(\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}x_{n}=x_{0}\):

\(\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}f(x_{n})=f(x_{0})\)

Определение:

Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f=0\)  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение:

Функция \(f(x)\) — непрерывна справа, если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})\) Функция \(f(x)\) — непрерывна слева, если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})\) Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})\)

Замечание:

Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Пример:

1) \(x_{0}\geq 0\) \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}\)        (\(\sqrt{x}\)- непрерывна на всей области определения)

Докажем:

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x:|x-x_{0}|< \delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|< \varepsilon\) \(|\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|= \) \(|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}| = \) \(|\frac{x-x_{0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}|=\) \(\frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}\leq \frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x_{0}}}<\) \(\frac{\delta }{\sqrt{x_{0}}}<\) \( \varepsilon\) \(0< \delta < \varepsilon \sqrt{x_{0}}\) (\(\delta =\frac{\varepsilon \sqrt{x_{0}}}{2})\)

Рекомендации:

  Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167.
•  Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

 Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

Непрерывные функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 6

   Вставьте пропущенные слова:
   Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если

   • бесконечно (малому) (приращению) аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 6

   Дополните выражение!

   • Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (непрерывны) везде в своей области определения.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 6

   Соберите определение непрерывности по Коши!

   • $$\forall \varepsilon > 0,$$
   • $$\exists \delta _{\varepsilon }> 0,$$
   • $$\forall x\in X,$$
   • $$|x-x_{0}|< \delta $$
   • $$|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 6

   Запись \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\) не может означать, что…

   • Функция \(f(x)\) определена в точке \(x_{0}\) и в её окрестности;
   • Функция \(f(x)\) имеет предел при \(x\rightarrow x_{0}\);
   • Предел функции в точке \(x_{0}\) равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\);
   • Функция не имеет предела в точке \(x_{0}\);
   Правильно
   

   Неправильно
   

Теорема.
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $ [a,b] $, $A=f(a) \neq f(b)=B$ и число $C$ заключено между числами $A$ и $B$, то существует такая точка $c \in [a,b]$, что $f(c)=C$.
Доказательство.
Не нарушая общности будем считать, что $ A = f(a) < f(b) = B $. Рассмотри функцию $h(x)=f(x)-C$, непрерывность на отрезке $ [a,b] $ которой следует из непрерывности функции $f$. Очевидно что $h(a)=A-C<0$ и $h(b)=B-C>0$. Применяем к $h$ первую теорему Коши и находим точку $c$ в которой $h(c)=f(c)-C=0$, то-есть $ f(c)=C $. Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы.
Как мы видим на рисунке изображен график функции $f(x)$(в общем произвольной), непрерывной на отрезке $[a,b]$, где $f(b) < f(a)$, $C$ произвольная точка на отрезке $[f(b),f(a)]$ и прямая $l$ задана формулой $l(x)=C$. Как мы видим, прямая $l$ обязана пересечь кривую $f(x)$ в какой-то точке $M$, лежащей на кривой $f(x)$, между точками $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$. То-есть существует такое $c\in [a,b]$, что $f(c)=C$.

Замечание 1.
Первую и вторую теоремы Коши объединяют в одну, теорему Коши о промежуточном значении функции. В таком случае, теорема о нулях функции считается частным случаем. В то же время, как видно из доказательства вторая теорема Больцано-Коши является прямым следствием первой. Также теорему Коши о промежуточном значении функции называют теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении функции.
Замечание 2.
Теорема Коши о промежуточном значении, применяется в доказательствах. Примеров на эту тему как таковых нету, но мы очень часто пользуемся этой теоремой, даже не замечая этого.
Пример.
Пусть функция $f(x)=x^{2}$ определенна и непрерывна на отрезке $[-2,2]$ .
Посчитаем значение функции в точках : $x=-0,75$, $x=0,25$, $x=1,5$.
Мы знаем что данная функция непрерывна на данном отрезке (в силу того что это полиномиальная функция), а значит, в силу второй теоремы Коши, она принимает все свои промежуточные значения и ее значения в указанных точках равны:
$f(-0,75)=0,5625$, $f(0,25)=0,0625$, $f(1,5)=2,25$.
Литература.

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1. (стр. 172)
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1. (стр. 123-124).
• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  Часть 1. (стр. 28-29).
• Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу Часть 1. (стр. 83)
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (стр. 164)

Вторая теорема Коши

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Вторая теорема Коши»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Указать значения функций на аргументе $x=1$:

   Элементы сортировки

   • -12
   • -1
   • 0
   • 1

   • $x^4+x^3-17x+3$

   • $\frac{1}{\cos{\pi x}}$

   • $\log_{10}{\frac{1}{x}}$

   • $\ln{e^{\frac{x^2+x-1}{x^2-x+1}}}$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Прямым следствием какой теоремы является вторая теорема Коши?

   • Теорема Вейерштраса.
   • Теорема Гейне.
   • Первая теорема Коши.
   • Не является прямым следствием из теорем.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Какие значения принимает функция $f(x)=5x^2-20x+7$ на отрезке $[2,4]$ (написать нижнюю и верхнюю границы через пробел)?
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Для выполнения одного из условий теоремы, необходимо чтобы функция:

   • была непрерывна на отрезке $[a,b]$.
   • была непрерывна на интервале $(a,b)$.
   • имела конечное число разрывов на $[a,b]$.
   • имела только разрывы первого рода на $(a,b)$.
   • была равномерно непрерывной на $[a,b]$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Построить правильную последовательность доказательства теоремы.

   • Вводим новую функцию.
   • Проверяем непрерывность функции и какие значения она принимает на концах отрезка.
   • Применяем к функции первую теорему Коши.
   • Находим точку в которой функция обращается в ноль.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Формулировка:

Если функция непрерывна на сегменте  и на своих концах принимает значение разных знаков, то существует такая точка, принадлежащая этому отрезку, в которой функция обращается в нуль.

Если $latex f \ \in \ C[a,b] $ и $latex f(a)f(b)<0 $ , то
$latex \exists c \ \in \ [a,b] : f(c)=0 $

Литература:

• Лысенко З.М. Конспекты лекций.
• Г.М. Фихтенгольц: Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1, стр 168
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский Курс лекций по математическому анализу Часть 1, стр 82

Тест:

Первая и вторая теоремы Коши

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Первая и вторая теорема Коши»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Для выполнения одного из условий теорем, необходимо что бы функция была непрерывна на:

   • на отрезке $[a,b]$
   • на интервале $(a,b)$
   • на полусегменте $[a,b)$
   • на полусегменте $(a,b]$
   • Условие теоремы не требует непрерывности
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   В формулировке теоремы Коши о нулях функции, при соблюдение всех условий, подразумевается, что:

   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем такая точка единственна
   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем таких точек может быть сколь угодно много, в независимости от поведения функции
   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем таких точек может быть сколь угодно много, в зависимости от поведения функции
   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем таких точек может быть сколь угодно много и их количество зависит только от выбранного отрезка
   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем таких точек может быть сколь угодно много, в зависимости от поведения функции и рассматриваемого отрезка
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Расставьте этапы доказательства теоремы, в правильном порядке

   • Деление отрезков пополам
   • Получим два варианта, либо найдена точка, либо получили стягивающуюся последовательность
   • Применяем теорему Кантора для n-ого отрезка
   • Доказательство от противного существования точки с, удовлетворяющей условию
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Идея доказательства теоремы Коши о промежуточных значениях функций, заключается в том что:

   • Введение вспомогательной функции и ссылка на теорему Коши о нулях функции
   • Ссылка на теорему Коши о нулях функции и затем ссылка на теоремы Вейерштрасса
   • Ссылка на теорему Коши о нулях функции и затем введения вспомогательной функции
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Указать значения функций на аргументе $x=1$:

   Элементы сортировки

   • -12
   • -1
   • 0
   • 1

   • $x^4+x^3-17x+3$

   • $\frac{1}{\cos{\pi x}}$

   • $\log_{10}{\frac{1}{x}}$

   • $\ln{e^{\frac{x^2+x-1}{x^2-x+1}}}$

   Правильно
   

   Неправильно