Метка: несобственный интеграл от неограниченных функций

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Будем рассматривать несобственный интеграл от неограниченной функции.

Теорема

Пусть [latex]f(x)[/latex] определена на полуинтервале [latex]\left[ a ,b \right)[/latex]. Для сходимости несобственного интеграла [latex]\int _{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для всякого [latex]\varepsilon > 0[/latex] найдется такое [latex]\delta\in\left[ a ,b \right)[/latex], что для любых [latex]{ \xi }_{ 1 },{ \xi }_{ 2 }\in\left( \delta ,b \right)[/latex] выполняется неравенство [latex]\left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon[/latex].

Доказательство

Обозначим функцию [latex]\Phi (\xi ) = \int _{a}^{\xi}{f(x)dx}[/latex]. Тогда, сходимость интеграла [latex]\int _{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] означает существование конечного предела [latex]\underset {\xi \to b-0}{\lim}\int _{a}^{\xi}{f(x)dx} = \underset {\xi \to b-0}{\lim}\Phi(\xi)[/latex], а этот предел существует, согласно критерию Коши, когда функция [latex]\Phi(\xi)[/latex] удовлетворяет условию
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta \in \left[ a;b \right): \forall \xi_1, \xi_2 \in \left(\delta, b \right ) \Rightarrow \left|\Phi(\xi_2)-\Phi(\xi_1) \right| < \varepsilon .$$
И в силу свойств интеграла получаем $$\left| \Phi (\xi _{ 2 })-\Phi (\xi _{ 1 }) \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx- \overset { \xi_1 }{ \underset {a }{ \int} }f(x)dx \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset {\xi_1 }{ \int } } f(x)dx \right| < \varepsilon .$$
А это то, что нам и требовалось доказать.

Список Литературы

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение

Пусть функция [latex]f[/latex] задана на полуинтервале [latex][a,b)[/latex], где $-\infty<a<b<+\infty$, и интегрируема по Риману на любом отрезке [latex][a,\xi][/latex], где $a<\xi<b$. Тогда, если существует конечный предел [latex]\lim_{\xi \to b-0}\int_{a}^{\xi}{f(x)dx}[/latex], то несобственный интеграл $II$ рода [latex]\int_{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] называют сходящимся и полагают

$$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to b-0}\int\limits_{a}^{\xi}{f(x)dx}$$

В противном случае несобственный интеграл называют расходящимся.

Аналогично, если существует конечный [latex]\lim_{\xi \to a+0}\int_{\xi}^{b}{f(x)dx}[/latex], то несобственный интеграл $II$ рода [latex]\int_{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] называют сходящимся и полагают

$$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to a+0}\int\limits_{\xi}^{b}{f(x)dx}$$

В противном случае, если такого предела нет, расходящимся.

Замечание

Определение несобственного интеграла от непрерывных функций является содержательным лишь в случае, когда  [latex]f(x)[/latex] неограниченна  в окрестности точек [latex]b,a[/latex]. При этом, эти точки называются особыми.

Пример:

Курсовая
Рассмотрим функцию [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/latex]. Эта функция непрерывна на промежутке [latex][0,1)[/latex], но не ограничена на этом промежутке. При [latex]\forall\xi\in [0,1)[/latex] функция [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/latex] интегрируема на отрезке [latex][0,\xi][/latex], причем [latex]J(\xi)=\int_{0}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=\left(-2\sqrt{1-x})\right|^{\xi}_{0}=2(1-\sqrt{1-\xi})[/latex], откуда следует, что существует конечный [latex]\lim_{\xi \to 1-0}F(\xi)=2[/latex]. В этом случае говорят, что несобственный интеграл от функции [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/latex] на промежутке [latex][0,1)[/latex] равен [latex]2[/latex], т.е. [latex]\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=2[/latex]. Число [latex]2[/latex] можно интерпретировать как площадь заштрихованной фигуры на Рис.1.

Литература

Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

Этот тест покажет насколько хорошо вы усвоили данную тему.

Таблица лучших: Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных