Если $latex X \neq \varnothing$ и $latex X$ — ограничено сверху(снизу) в $latex \mathbb{R}$, то $latex \exists \sup X<\infty. (\exists \inf X>-\infty)$
Пусть $latex E$ — множество всех верхних границ множества $latex X$, то есть $latex X\leq E.$ По аксиоме непрерывности $latex \exists c \in \mathbb{R}:X\leq c \leq E.$
Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число $latex M$ называется точной верхней гранью (границей), если:
$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \leq M;$
$latex 2)$ для $latex \forall {M}'<M: \exists {x}’ \in X:{x}’>{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).
Число $latex M$ называется точной нижней гранью (границей), если:
$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \geq M;$
$latex 2)$ для $latex \forall {M}’>M: \exists {x}’ \in X:{x}'<{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).
$latex M=\inf X$ ($latex M$ — инфимум $latex X$).
(если множество $latex X$ неограничено сверху, то пишем $latex \sup{X}=+\infty;$ если множество $latex X$ неограничено снизу, то пишем $latex \sup{X}=-\infty.$)
Примечание: если $latex M$ не является точной верхней гранью множества $latex X$ и $latex \forall x \in X : x \leq M$, тогда $latex \exists {M}'<M : \forall {x}’ \in X : {x}’>{M}’;$
если $latex M$ не является точной нижней гранью множества $latex X$ и $latex \forall x \in X : x \geq M$, тогда $latex \exists {M}’>M : \forall {x}’ \in X : {x}'<{M}’.$
Пусть множество $latex X$ имеет 2 точных верхних грани: $latex M_{1}$ и $latex M_{2}.$
Допустим $latex M_{1}<M_{2}$.
Так как $latex M_{1}<M_{2}$ и $latex M_{2}=\sup{X}$, то $latex \exists {x}’ \in X: {x}’>M_{1}$, что противоречит тому факту, что $latex M_{1}=\sup{X}.$ $latex \blacksquare$
Действительно, всякие рациональные $latex x< \sqrt{2}$ (и при этом $latex x> -\sqrt{2}$) будут элементами множества $latex r$, причём $latex \forall \epsilon : \exists x \in r : \sqrt{2} — x< \epsilon$. То есть какое бы рациональное число из $latex r$ мы не взяли, можно взять рациональное число из $latex r$ так, что оно будет находиться ближе к $latex \sqrt{2}$ на числовой прямой.
$latex 2)$ Пусть $latex \left \{ -x\right \}$ — множество чисел, противоположных числам $latex x \in \left \{x \right \}.$