Теорема (общий ассоциативный закон)
Формулировка
Пусть на множестве $latex A$ задана ассоциативная БАО $latex «*»$. Тогда в «звездном произведении» $latex a_1*a_2*…*a_k$, где $latex k\geq 3$ результат не зависит от способа расстановки скобок.
Доказательство
Индукция по k:
База: Докажем выполнение теоремы при $latex k=3$. Если $latex k=3$, то $latex (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3)$.
Предположение: Предположим, что в выражении $latex a_1*a_2*…*a_k$ при $latex k \leq n$ порядок элементов и способ расстановки скобок не влияет на результат вычислений.
Шаг: Докажем для $latex k=n+1$:
$latex 1\leq l \leq n$
$latex \left(a_1*…*a_l \right)*\left(a_{l+1}*…*a_n*a_{n+1} \right)=$ $latex \left(a_1*…*a_l \right)*$ $latex [\left(a_{l+1}*…*a_{m} \right)*\left(a_{m+1}*…*a_{n+1} \right)]$;
$latex a_1*a_2*…*a_l=a$,
$latex a_{l+1}*..*a_m=b$,
$latex a_{m+1}*..*a_{n+1}=c$,
$latex a*\left(b*c \right)=\left(a*b \right)*c$, то есть: $latex \left(a_1*…*a_m \right)*\left(a_{m+1}*…*a_{n+1} \right)$.
Что и требовалось доказать. $latex \blacksquare$
Теорема (Общий коммутативный закон)
Формулировка
Пусть на множестве $latex A$ задана ассоциативная и коммутативная БАО $latex «*»$, тогда в $latex a_1*a_2*…*a_n$, где $latex n \geq2$, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.
Доказательство
Зафиксируем порядок элементов и рассмотрим выражение: $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}$.
Согласно Общему ассоциативному закону, результат вычисления данного выражения не зависит от способа расстановки скобок. Положим $latex a_{i_j}=a_n$. Исходя из коммутативности операции $latex «*»$,
$latex a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_n*a_{i_{j+1}})*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}=$ $latex a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_{i_{j+1}}*a_n)*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}$.
Следовательно, не изменяя результата выражения $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}},$ без ограничения общности рассуждения будем считать, что $latex a_{i_n}=a_n.$ Следовательно, продолжая упорядочивание элементов, показываем, что результат вычисления любого выражения вида $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}$ равен выражению $latex a_1*a_2*…*a_n$. $latex \blacksquare$
Таблица лучших: Общие ассоциативный и коммутативный законы
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Общие ассоциативный и коммутативный законы
Тест на знание Общего ассоциативного и Общего коммутативного законов.
Источники:
- Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.
- В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 9-12.
- В. В. Воеводин «Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система Линеал», 2006 г. (стр. 99-102).