Функция [latex]F[/latex] называется первообразной функцией функции [latex]f[/latex] на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], если [latex]F[/latex] дифференцируема на [latex]\bigtriangleup[/latex] и в каждой точке этого промежутка производная функции [latex]F[/latex] равна значению функции [latex]f[/latex]:
[latex]F'(x)-f(x)[/latex], [latex]x\in\bigtriangleup[/latex]
При этом если некоторый конец промежутка [latex]\bigtriangleup[/latex] принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная [latex]F[/latex] функции [latex]f[/latex] непрерывна на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].
Примеры
- Функция [latex]F(x)=\frac{x^3}{3}[/latex] является первообразной функции [latex]f(x)=x^2[/latex] на всей числовой оси.
- [latex]f(x)=\frac{1}{7-3x}[/latex] [latex]F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C[/latex]
Решите самостоятельно
[latex]f(x)=3x^2[/latex]
[latex]F(x)=x^3[/latex]
[latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex], при [latex]x>0[/latex]
[latex]F(x)=2\sqrt{x}[/latex]
[latex]f(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex], при [latex]x\ne0[/latex]
[latex]F(x)=\frac{1}{x}[/latex]
[latex]f(x)=cos(x)[/latex]
[latex]F(x)=sin(x)[/latex]
Ниже приведены графики функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex](красный цвет) и ее первообразной [latex]F(x)=sin(x)[/latex](зеленый цвет) при значении произвольной постоянной [latex]C=0[/latex].
Литература
- Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
- Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
- Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454
Тест
Определение первообразной
Таблица лучших: Определение первообразной
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |