Метка: определение

Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков определяются при помощи индукции. Если говорить неформально, то каждая частная производная порядка больше чем 1 определяется, как производная от производной предыдущего порядка.
 

Определение

Частная производная (по независимым переменным) от частной производной порядка $m-1$ называется частной производной порядка $m(m=1,2,…)$.
Частная производная, полученная  с помощью дифференцирования по разным переменным, называется смешанной частной производной.
Частные производные высших порядков сохраняют все те же свойства, что и обычные частные производные.

Пример

Пусть дана функция $f(x,y,z)$.
Частной производной первого порядка по $x$ будет $\frac { df }{ dx } $.
Частной производной второго порядка по $x$ будет $\frac { { d }^{ 2 }f }{ d{ x }^{ 2 } } $
Смешанной производной третьего порядка будет $\frac { { d }^{ 3 }f }{ d{ x }^{ 2 }dy }$

Геометрический смысл частной производной

Спойлер

Пусть нам дана функция [latex]z(x,y)[/latex], которая имеет частную производную в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$. Пусть на рисунке изображена поверхность графика функции $z$. Проведем плоскость $y={y}_{0}$. Плоскость пересечет поверхность по линии [latex]T{ P }_{ 0 }[/latex]. Проведем касательную ${ P }_{ 0 }A$ к линии ${ P }_{ 0 }T$. Прямая ${ P }_{ 0 }A$ образует угол $\alpha$ с осью $Ox$. Тангенс угла наклона к оси $Ox$ касательной к графику функции $f(x,{ y }_{ 0 })$ в точке ${ x }_{ 0 }$ и есть частная производная по $x$ функции $z$ в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$.
$$
{\rm \tg}\alpha =\frac { dz({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) }{ dx } ={ f }_{ x }^{ \prime }({ M }_{ 0 })
$$

4

[свернуть]

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Тест на понимание темы «Частные производные высших порядков»

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Знакоопределённые квадратичные формы

Определение

Квадратичная форма называется знакоопределённой, если она положительно определённая или отрицательно определённая.

Пусть [latex]x \in \mathbb{R}^{n}[/latex].

Квадратичная форма [latex]Q[/latex] называется положительно определённой если для любого [latex]x\neq 0[/latex] справедливо неравенство [latex]Q\left(x \right)>0[/latex].

Аналогично, если для любого [latex]x\neq 0[/latex] имеем [latex]Q\left(x \right)<0[/latex], то такая квадратичная форма называется отрицательно определённой.

Примеры

Пример 1

Является ли квадратичная форма [latex]Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}[/latex] знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Нет, квадратичная форма является неопределённой.

[свернуть]

Пример 2

Является ли квадратичная форма [latex]Q\left(x_{1},x_{2},…,x_{n} \right)=x_{1}^{2}+…+x_{m }^{2}-x_{m+1}^{2}-…-x_{n}^{2}[/latex], где [latex]\left(m<n\right)[/latex], знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Да, является. Квадратичная форма положительно определённая, так как [latex]Q\left(x_{1},x_{2} \right)>0[/latex] для всех [latex]x_{1},x_{2}[/latex], кроме [latex]x_{1}=x_{2}=0[/latex].

[свернуть]

Литература

Тест на знание знакоопределённой квадратичной формы

Тест на умение распознать вид квадратичной формы.

Определение квадратичной формы

Определение

Квадратичной формой [latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right)[/latex] от [latex]n[/latex] неизвестных [latex]x_{1}, x_{2}, …, x_{n}[/latex] называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при [latex]x_{i}^{2}[/latex] через [latex]a_{ii}[/latex], а при произведении [latex]x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\left(i\neq j \right)[/latex] — через [latex]a_{ij}+a_{ji}\left(a_{ij}=a_{ji} \right)[/latex], квадратичную форму [latex]Q[/latex] можно представить в виде

[latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right) = a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+…+a_{1n}x_{1}x_{n}+…+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+…+a_{nn}x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}}[/latex]

Симметричная матрица [latex]A= \left(a_{ij} \right)[/latex] называется матрицей квадратичной формы [latex]Q[/latex].

Примеры

Пример 1

Написать матрицу квадратичной формы.
[latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = 2x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}+8x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3}[/latex]

Пример 2

Написать квадратичную форму по её матрице.
[latex]A=\begin{pmatrix}4 & 0& 2\\ 0& 7 & 1\\ 2&1 &-5 \end{pmatrix}[/latex]

[spoilergroup]

Пример 1

[latex]A=\begin{pmatrix}2 & 2& -1\\ 2& -5 & 3\\ -2&3 &8 \end{pmatrix}[/latex]

[свернуть]

Пример 2

[latex]Q\left(x_{1}, x_{2},x_{3} \right) = 4x_{1}^{2}+7x_{2}^{2}-5x_{3}^{2}+4x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}[/latex]

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест на знание квадратичной формы

Тест на умение распознать квадратичную форму и составить для неё матрицу квадратичной формы, а также наоборот — написать квадратичную форму по её матрице.

Компактные множества

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Пусть множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex]. Семейство открытых множеств [latex]\left\{G_{\alpha}\right\}[/latex] называется открытым покрытием множества [latex]E[/latex], если каждая точка [latex]x \in E[/latex] принадлежит хотя бы одному из множеств [latex]G_{\alpha}[/latex], т. е. если [latex]E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}[/latex].

Определение. Множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex] называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество [latex]E[/latex]. Это подсемейство называется конечным подпокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex]. Диаметром множества [latex]E[/latex] называется число [latex]diam \> E = sup_{x,y \in E} \left | x — y \right |[/latex], т. е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из [latex]E[/latex]. Например, если [latex]E = \left [a^1,b^1;…;a^n,b^n \right ][/latex] – [latex]n[/latex]-мерный сегмент, то, очевидно, [latex]diam \> E = |b-a|[/latex], где [latex]a = (a^1,…,a^n), b = (b^1,…,b^n)[/latex].

Лемма (о вложенных сегментах). Пусть  [latex]\left\{I_{\nu}\right\}[/latex] – последовательность вложенных сегментов из [latex] \mathbb{R}^n [/latex], т. е. [latex]I_1 \supset I_2 \supset…\supset I_{\nu} \supset…[/latex], диаметры которых стремятся к нулю при [latex]\nu \mapsto \infty[/latex]. Тогда существует, и притом единственная, точка [latex]x_0[/latex], принадлежащая всем этим сегментам.
Доказательство. Пусть [latex]I_{\nu} = \left [a^1_{\nu},b^1_{\nu};…;a^n{\nu},b^n_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,…)[/latex]. При каждом фиксированном [latex]i = 1,…,n[/latex] последовательность одномерных отрезков [latex] \left [a^i_{\nu},b^i_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,…)[/latex] состоит из вложенных друг в друга отрезков, т. е. [latex][a^i_1,b^i_1] \subset [a^i_2,b^i_2] \subset … \subset [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] \subset …[/latex], и длины этих отрезков стремятся к нулю при [latex]\nu \mapsto \infty[/latex]. По лемме Кантора, для зафиксированного [latex]i[/latex] найдется число [latex]x^i_0[/latex], такое, что [latex]x^i_0 \in [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] (\nu = 1,2,…)[/latex], т. е. [latex]a^i_{\nu} \leq x^i_0 \leq b^i_{\nu} (\nu = 1,2,…)[/latex]. Но тогда точка [latex]x_0 = (x^1_0,…,x^n_0)[/latex], очевидно, принадлежит всем [latex]I_{\nu}[/latex]. Двух различных точек, принадлежащих всем [latex]I_{\nu}[/latex] одновременно, быть не может. Действительно, если [latex]{x}’,{x}» \in I_{\nu} (\nu = 1,2,…)[/latex], то [latex]|{x}’-{x}»| \leq diam \> I_{\nu}[/latex]. По условию правая часть стремится к нулю при [latex]\nu \mapsto \infty[/latex], так что [latex]{x}’={x}»[/latex].

Литература:

Компактные множества

Тест по теме «Компактные множества»

Таблица лучших: Компактные множества

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Замкнутые множества

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Назовем точку [latex]x_0[/latex] предельной точкой множества [latex]E[/latex], если в произвольной окрестности точки [latex]x_0[/latex] существует хотя бы одна точка из [latex]E[/latex], отличная от [latex]x_0[/latex].
Предложение. Если [latex]x_0[/latex] – предельная точка множества [latex]E[/latex], то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из [latex]E[/latex]. Доказательство. Обозначим через [latex]U[/latex] произвольную окрестность [latex]x_0[/latex]. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества [latex]E[/latex], отличных от [latex]x_0[/latex]. Тогда среди них найдется точка [latex]x_1[/latex], ближайшая к [latex]x_0[/latex]. Но тогда в шаре радиуса [latex]\left| x_1-x_0 \right| > 0[/latex] с центром в [latex]x_0[/latex] нет ни одной точки из [latex]E[/latex], отличной от [latex]x_0[/latex], а это невозможно, поскольку [latex]x_0[/latex] – предельная точка множества [latex]E[/latex].

Пример. Пусть [latex]B_0 = \left \{ x : \left | x \right | < 1 \right \}[/latex] – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же [latex]x_1[/latex] находится на сфере, т. е. [latex]\left| x_1 \right| = 1[/latex], то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть [latex]B(x_1,\rho)[/latex] — произвольная окрестность точки [latex]x_1[/latex]. Тогда все точки вида [latex]y = tx_1 (1-\rho < t < 1)[/latex] принадлежат [latex]B_0[/latex] и содержатся в [latex]B(x_1,\rho)[/latex]. Следовательно, [latex]x_1[/latex] является предельной для шара [latex]B_0[/latex] по определению.

Рассмотрим теперь точку [latex]x_2[/latex], такую, что [latex]\left| x_2 \right| > 1[/latex]. Докажем, что она не будет предельной для [latex]B_0[/latex]. Действительно, предположим, что [latex]\rho = \left| x_2 \right| -1 > 0[/latex]. Тогда в [latex]B(x_2,\rho)[/latex] нет ни одной точки из [latex]B_0[/latex]. Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка [latex]x_2[/latex] не является предельной для множества [latex]B_0[/latex].

Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.

Определение.Множество [latex]E[/latex] называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество [latex]\varnothing[/latex] замкнутым. Пространство [latex]\mathbb{R}^n[/latex], очевидно, является замкнутым по определению.

Литература:

Замкнутые множества

Тест по теме «Замкнутые множества»

Таблица лучших: Замкнутые множества

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных