Задача о ортогональном проектировании на подпространство

Задача №1:

Найти ортогональную проекцию  $ y$ и ортогональную составляющую $ z$ вектора $ x$ на линейное подпространство $ L$ :

$ x=(4,-1,-3,4)$, $ L$ натянуто на векторы $ a_1=(1,1,1,1), a_2=(1,2,2,-1), a_3=(1,0,0,3)$.

Решение:

для начала найдем базу системы векторов $ a_1, a_2, a_3$

$ \begin{Vmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&2&2&-1 \\ 1&0&0&3 \end{Vmatrix}$ ~ $ \begin{Vmatrix} 1&1&1&1 \\ 0&1&1&-2 \\ 0&-1&-1&2 \end{Vmatrix}$

отсюда получается, что $ y=p_1*a_1+p_2*a_2$, а $ x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$

домножим последние уравнение на $ a_1$ и $ a_2$ и получим систему:

$ \begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$  $ \begin{cases} 4=4*p_1+4*p_2 \\ -8=4*p_1+10*p_2 \end{cases}$  $ \begin{cases} p_1=3 \\ p_2=-2 \end{cases}$

отсюда получаем $ y=3*a_1-2*a_2=(1,-1,-1,5)$ и $ z=x-y=(3,0,-2,-1)$

Ответ: $ z=(3,0,-2,-1)$ $ y=(1,-1,-1,5)$.

Задача №2:

Найти  ортогональную  составляющую $ z$ вектора $ x$ и угол между$ x$  и линейным подпространством $ L$:

$ x=(2,2,1,1)$, $ L$ натянуто на векторы $ a_1=(3,4,-4,-1), a_2=(0,1,-1,-2)$.

Решение:

$ x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$, домножим  уравнение на $ a_1$ и $ a_2$ и получим систему:

$ \begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$ $ \begin{cases} 9=42*p_1+10*p_2 \\ -1=10*p_1+6*p_2 \end{cases}$ $ \begin{cases} p_1=\frac{8}{19} \\ p_2=-\frac{33}{38} \end{cases}$

отсюда получаем $ y=\frac{8}{19}a_1-\frac{33}{38}a_2=(\frac{24}{19},\frac{32}{19},-\frac{32}{19},-\frac{8}{19})-(0,\frac{33}{38},-\frac{33}{38},-\frac{66}{38})=(\frac{24}{19},\frac{31}{38},-\frac{31}{38},\frac{25}{19})$ и $ z=x-y=(\frac{14}{19},\frac{45}{38},\frac{69}{38},-\frac{6}{19})$

чтобы найти угол между $ x$ и подпространством достаточно найти угол между вектором и ортогональной проекцией, то есть: $ \cos\alpha=\frac{x_1*y_1+x_2*y_2+x_3*y_3+x_4*y_4}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2} * \sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2}} =\frac{\sqrt{16815}}{190}$

Ответ: $ z=(\frac{14}{19},\frac{45}{38},\frac{69}{38},-\frac{6}{19})$,  $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{16815}}{190}$

Задача №3:

Найти ортогональную проекцию  $ y$ и ортогональную составляющую $ z$ вектора $ x$ на линейное подпространство $ L$:

$ x=(5,2,-2,2)$, $ L$ натянуто на векторы $ a_1=(2,1,1,-1), a_2=(1,1,3,0), a_3=(1,2,8,1)$.

Решение:

$ \begin{Vmatrix} 2&1&1&-1 \\ 1&1&3&0 \\ 1&2&8&1 \end{Vmatrix}$  ~ $ \begin{Vmatrix} 1&1&3&0 \\ 2&1&1&-1 \\ 1&2&8&1 \end{Vmatrix}$  ~ $ \begin{Vmatrix} 1&1&3&0 \\ 0&-1&-5&-1 \\ 0&1&5&1 \end{Vmatrix}$

отсюда получается, что $ y=p_1*a_1+p_2*a_2$, а $ x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$

домножим последние уравнение на $ a_1$,  $ a_2$,  и получим систему:

$ \begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$  $ \begin{cases} 8=7*p_1+6*p_2 \\ 1=6*p_1+11*p_2 \end{cases}$  $ \begin{cases} p_1=2 \\ p_2=-1 \end{cases}$

отсюда получаем $ y=2*a_1-a_2=(3,1,-1,-2)$ и $ z=x-y=(2,1,-3,-4)$

Ответ:  $ y=(3,1,-1,-2)$ , $ z=(2,1,-3,-4)$.

Список использованной литературы:

  1. Проскуряков И.В.Сборник задач по линейной алгебре : Наука, 3-е издание. 1966 год. №1402, 1370, 1371.
  2. тест

    Данный тест предназначен для проверки своих знаний по данной теме.