Если остаток в формуле Тейлора $latex |r_{n}(x_{0},x)|< \alpha _{0} &s=1 $,то формулу Тейлора для многочлена можно записать так: $latex f(x)\approx f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+…+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} &s=1 $.
В свою очередь остаточный член: $latex r_{n}(x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} &s=1 $ — определяет погрешность формулы.
Задание:
Записать разложение по формуле Маклорена ($latex x_{0}=0 $) с остатком в форме Лагранжа. Оценить абсолютную погрешность.
Пример 1
$latex \sin x=x-\frac{x^{3}}{6} &s=2 $, причём $latex |x| \leq \frac{1}{2} &s=2 $
Решение
Исходная формула:
$latex \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-…-\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &s=2 $
Обобщим запись:
$latex \sin x=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\rightarrow 0}{o(x^{2k+1})} &s=2 $
Выясним промежуток для переменной:
$latex x \in \left ( -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right ) &s=2 $
Запишем разложение по формуле Тейлора:
$latex \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin^{(4)}( x )}{4!}x^{4}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin( x +4\frac{\pi }{2} )}{4!}x^{4}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin( x +2\pi )}{4!}x^{4} &s=2 $
Пользуясь правилом приведения:
$latex \sin( x +2\pi )=\sin x &s=2 $
$latex \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin x}{4!}x^{4} &s=2 $
Оценим последнее слагаемое:
$latex \left | \frac{\sin x}{4!}x^{4} \right |= \frac{\left | \sin x \right |}{4!}\left | x^{4} \right |\leq \frac{\left | x^{4} \right |}{4!}\leq \frac{\frac{1}{2}}{4!}=\frac{1}{16\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{384} &s=2 $
Пример 2
$latex e^{x}\simeq1+x+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{n}}{n!} &s=2 $, $latex 0\leq x\leq 1 &s=2 $
Решение
Выпишем и оценим остаток в формуле Тейлора:
$latex |r_{n} ( x_{0},x )|=\left | \frac{e^{x }}{(n+1)!}x^{n+1} \right |\leq \left | \frac{e^{x }}{(n+1)!} \right | &s=2 $
Учитывая промежуток для переменной, запишем и оценим:
$latex \begin{Bmatrix}
x_i \in \left ( 0;1 \right )\
e\approx 2,71
\end{Bmatrix}\Rightarrow \left | \frac{e^{x_i }}{(n+1)!} \right |\leq \frac{3}{(n+1)!} &s=2 $
Пример 3
$latex \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8} &s=2 $, $latex 0\leq x\leq 1 &s=2 $
Решение
Запишем разложение:
$latex \sqrt{1+x}=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(x_i)}{3!}x^{3} &s=2 $
Найдём производную:
$latex f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} &s=2 $
$latex f^{(2)}(x)=\frac{1}{2}((1+x)^{-\frac{1}{2}})’=-\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}} &s=2 $
$latex f^{(3)}(x)=(-\frac{1}{4})(-\frac{3}{2})(1+x)^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}} &s=2 $
$latex f^{(3)}(x_i )=\frac{3}{8}(1+x_i )^{-\frac{5}{2}} &s=2 $
Оценим последнее слагаемое:
$latex \left | \frac{3}{8}\cdot \frac{(1+x_i )^{-\frac{5}{2}}}{3!} x^{3}\right |=\left |\frac{(1+x_i )^{-\frac{5}{2}}}{16} x^{3} \right |\leq \frac{2^{-\frac{5}{2}}}{16}\cdot 1< \frac{1}{16} &s=2 $
Источники:
- Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора»).
- Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1, Глава третья, пар. 5, ст. 258-263.
