Метка: Отображения

Изоморфизм линейных пространств

Пусть заданы два линейных пространства над полем [latex]\mathbb{P}[/latex]: [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex]. Тогда изоморфизмом f (обозначается как [latex]A \cong B[/latex]) называется биекция из [latex]A[/latex] в [latex]B[/latex], удовлетворяющая следующим условиям:
1) [latex]f(a+b) = f(a) + f(b)[/latex]
2) [latex]f(\lambda\cdot a) = \lambda\cdot f(a) [/latex]

Изоморфными пространствами называются такие линейные пространства, между которыми можно установить изоморфизм.

Свойства изоморфизма:
1) [latex]f(0) = 0[/latex]
2)[latex]f(-a) = -f(a)[/latex]
3) [latex]f(\sum_{j=1}^{k}a_j a_j) = \sum_{j=1}^{k}a_j f(a_j)[/latex]
4) При изоморфном отображении линейно независимая система не может стать линейно зависимой. Обратное также верно.
5) Базис [latex]A[/latex] отображается в базис [latex]B[/latex].
6) Прямая сумма подпространств в [latex]A[/latex] отображается в прямую сумму образов этих подпространств в [latex]B[/latex].

 

По сути, изоморфизм является линейным оператором с нулевым дефектом и максимальным рангом.

 

Теорема. Любые два конечномерные линейные пространства, имеющие одинаковую размерность и заданные над одним и тем же полем, изоморфны.

Зададим два линейных пространства [latex]X[/latex] и [latex]Y[/latex] над полем P, [latex]\textrm{dim} X = \textrm{dim} Y[/latex]. Пусть базис [latex]X[/latex] — [latex]e_1,e_2,\dots ,e_n [/latex]; Y — [latex]e’_1,e’_2,\dots , e’_n[/latex]. Возьмём в пространстве [latex]X[/latex] векторы $$x_{1} = \alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\dots+\alpha_n e_n$$ и $$x_2 = \beta_1 e_1+\beta e_2+\dots+\beta e_n $$Тогда при изоморфизме [latex]X \cong Y[/latex]
$$
f(x_1+x_2)=f((\alpha_1 + \beta_1)e_1 + (\alpha_2 + \beta_2)e_2 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)e_n) = \\
= (\alpha_1 + \beta_1)e’_1 + (\alpha_2 + \beta_2)e’_2 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)e’_n = \\
=(\alpha_1 e’_1 + \alpha_2 e’_2 + \dots + \alpha_n e’_n ) + (\beta_1 e’_1 + \beta_2 e’_2 + \dots + \beta_n e’_n) = f(x_1) + f(x_2).
$$
(первое условие изоморфизма) и
$$
f(\lambda x) = f((\lambda \alpha_1)e_1 + (\lambda \alpha_2)e_2 + \dots + (\lambda \alpha_n)e_n) = \\
= (\lambda \alpha_1)e’_1 + (\lambda \alpha_2)e’_2 + \dots + (\lambda \alpha_n)e’_n = \\
= \lambda(\alpha_1 e’_1 + \alpha_2 e’_2 + \dots + \alpha_n e’_n) = \lambda f(x)
$$
(второе условие).

Следствие. Все линейные пространства над одним и тем же полем [latex]\mathbb{P}[/latex] одинаковой размерности [latex]n[/latex] изоморфны [latex]n[/latex]-мерному арифметическому линейному пространству [latex]\mathbb{R}^n[/latex] над полем [latex]\mathbb{P}[/latex].

Примеры

1. Привести пример отображения из [latex]\mathbb{R}[/latex] в [latex]\mathbb{\mathbb{N}_0}[/latex], которое является изоморфизмом.
Решение

Пусть [latex]x’ = 2x[/latex]. Тогда [latex]f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)[/latex] и [latex]f(\lambda a) = 2(\lambda a) = \lambda 2a = \lambda \cdot f(a)[/latex]. Значит, это отображение является изоморфизмом.

[свернуть]
2. Доказать первое свойство ([latex]f(0) = 0[/latex]).
Решение

[latex]f(a) = f(a + 0) = f(a) + f(0)[/latex], значит [latex]f(0) = 0[/latex].

[свернуть]

 

Смотрите также

Тест

Изоморфизм линейных пространств

Тест на знание изоморфизма линейных пространств.

Виды отображений. Распознавание свойств отображений. Композиция отображений. Обратимость. Примеры

Материал лекций по теме «Отображения, типы отображений, тождественное отображение»

Рассмотрим пример, в котором заданное соответствие не является отображением.

Задача №1
Условие задачи:
Задано $f(u) =\left | \frac{ u(u+1)(u+2)}{3} \right|$, $U=\mathbb Z$, $V=\mathbb N$. Определить, будет ли $f: U \rightarrow V$ отображением.

Решение

Данное соответствие будет отображением, если $\forall u \in U$ существует образ. Казалось бы, каким бы ни было $u$, произведение трех последовательных чисел всегда будет делиться на 3. Однако, при:

$\begin{matrix} u_1 = 0 & f(u_1) = 0 \\ u_2 = -1 & f(u_2) = 0 \\ u_3 = -2 & f(u_3) = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ Не все прообразы имеют образы, т.к. $0 \notin \mathbb N$

$\Rightarrow$ Данное соответствие не является отображением.

[свернуть]

Рассмотрим задачи, в которых определим вид отображения и исследуем его на обратимость.

Задача №2
Условие задачи:
Заданы $U = \mathbb Z$, $V = \mathbb N$, $f(u) = u^2+2$, $f(u): U \rightarrow V$. Определить вид этого отображения и исследовать на обратимость.

Решение

Проверим, будет ли это отображение инъективным. Отображение инъективно, если для $\forall v \in V$ существует не более одного прообраза:

$\begin{matrix} u_1 = -1 & f(u_1) = 3 \\ u_2 = 1 & f(u_2) = 3 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ Один из образов имеет более одного прообраза. Отображение не инъективно.

Проверим, будет ли отображение сюръективно. Отображение сюръективно, если каждый элемент множества $V$ является образом.

$5 \in V$, но $\nexists u \in U$ такого, что $f(u) = 5$. Т.е. хотя бы один из элементов множества $V$ не является образом.

$\Rightarrow$ Отображение не сюръективно.

Таким образом получили, что данное отображение не инъективно и не сюръективно.

Теперь исследуем отображение на обратимость. Для этого воспользуемся критерием обратимости, согласно которому отображение обратимо $\Leftrightarrow$ когда оно биективно. Поскольку отображение не иъективно и не сюръективно, оно биективным не является, а, следовательно, не обратимо.

[свернуть]

Задача №3
Условие задачи:
Заданы $U=\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, $V=\left[ -1; 1\right]$, $f: U \rightarrow V$, $f(u) = \sin{u}$. Определить вид отображения и исследовать на обратимость.

Решение

Определим вид отображения. Это отображение является инъективным, поскольку $\forall v \in V$ имеет не более одного прообраза. Это отображение также является сюръективным, поскольку $\forall v \in V$ является образом.

$\Rightarrow$ Отображение биективно.

Исследуем отображение на обратимость. Для этого, воспользуемся критерием обратимости. Поскольку отображение биективно, то, согласно критерию, оно обратимо. Действительно, для данного отображения существует обратное: $f^{-1}=\arcsin{u}$.

[свернуть]

Задача №4
Условие задачи: Заданы $f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$, $g: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$, $f(u)=2u$, $g(u)=\frac{u}{2}$. Определить, обладает ли композиция этих отображений свойством коммутативности.

Решение

Проверим значение $(g \circ f)(u)$:

$(g \circ f)(u)=g(f(u))=g(2u)=u$

Проверим значение $(f \circ g)(u)$:

$(f \circ g)(u)=f(g(u))=f(\frac{u}{2})=u$

Получили, что $f \circ g = g \circ f$. Следовательно, композиция этих отображений обладает свойством коммутативности.

[свернуть]

Литература

  • Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1, ФИЗМАТЛИТ, 2001г., стр. 35-38

Виды отображений. Обратимость

Тест