Оценка модуля интеграла

Свойство 3 (оценка модуля интеграла)

Пусть $latex f \in R[a,b] (aнепрерывности функции $latex f$, тогда

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx> 0$.

Спойлер

$latex \square$ Пусть $latex x _{0} \in (a,b) :\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})> 0 $. Тогда

$latex \exists \; U_{\delta }(x_{0}):f(x)> \frac{f(x_{0})}{2}$,

следовательно

$latex \int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}\frac{f(x_{0})}{2} dx = \frac{f(x_{0})}{2}\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}dx =\frac{f(x_{0})}{2}\cdot 2\delta> 0$.

Так как имеют место неравенства

$latex \int\limits_{a}^{x_{0}-\delta} f(x) dx \geqslant 0, \int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f(x)dx > 0 , \int\limits_{x_{0}+\delta}^{b}f(x)dx \geqslant 0$

и

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \int\limits_{a}^{x_{0}-\delta}f(x)dx +\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f(x)dx+\int\limits_{x_{0}+\delta}^{b}f(x)dx$,

то получим $latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx >0$.$latex \blacksquare$

[свернуть]
Замечание

Условие непрерывности функции $latex f(x)$ в точке $latex x_{0}$, где $latex f(x_{0})>0$ существенно. Например, пусть

$latex f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, &0<x\leqslant 1, \\
1,&x=0.
\end{matrix}\right.$

Поскольку $latex \int\limits_{0}^{1}f(x)dx=0$, то неверно, что $latex \int\limits_{0}^{1}f(x)dx>0$.

Это можно проиллюстрировать на графикеexample_modular_integral_evaluation

Свойство 4 (оценка модуля интеграла)

Если $latex f\in R[a,b]$, то  $latex \left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx$.

Спойлер

$latex \square$

$latex \left | \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} \right | \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n}\left | f(\xi_{i}) \right |\Delta x_{i}$,

т.е.

$latex \left|\delta_{T}(f,\xi)\right|\leqslant\delta_{T} (\left|f\right|,\xi)$.

Переходя к пределу при ранге разбиения стремящемуся к нулю, получим

$latex \left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx$.$latex \blacksquare$

[свернуть]
Замечание

Если $latex f(x)$ — интегрируема на отрезке с концами $latex [a,b]$, то

$latex \left | \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \right | \leqslant \left | \int\limits_{a}^{b} \left | f(x)dx \right |\right |$.

Литература
Смотрите так же