Как и в случае двойного интеграла, рассмотрим сначала ситуацию, когда область $\Omega$ представляет собой прямоугольный параллелепипед $\Theta = \{ (x,y,z) : a \le x \le b,$ $c \le y \le d,$ $e \le z \le f\},$ а его проекцией на плоскость $(x,y)$ является прямоугольник $\Pi = \{ (x,y) : a \le x \le b,$ $c \le y \le d\}.$
Рассмотрим произвольное разбиение отрезков $[a,b],$ $[c,d]$ и $[e,f]$ точками $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b,$ $c = y_0 < y_1 < \ldots < y_m = d$ и $e = z_0 < z_1 < \ldots < z_l = f.$ Если $\Delta{x_1}, \ldots , \Delta{x_n},$ $\Delta{y_1}, \ldots , \Delta{y_m}$ и $\Delta{z_1}, \ldots , \Delta{z_l}$ — соответствующие промежутки, образующие разбиения данных отрезков, то $\Theta = \bigcup\limits_{i=1}^n \bigcup\limits_{j=1}^m \bigcup\limits_{k=1}^l \Theta_{ijk},$ а $\Pi = \bigcup\limits_{i=1}^n \bigcup\limits_{j=1}^m \Pi_{ij},$ где $\Theta_{ijk} = \{(x,y,z): x \in \Delta{x_i},$ $y \in \Delta{y_j},$ $z \in \Delta{z_k}\},$ $\Pi_{ij} = \{(x,y): x \in \Delta{x_i},$ $y \in \Delta{y_j}\}.$
Положим $M_{ijk} = \sup\limits_{(x,y,z) \in \Theta_{ijk}} f(x,y,z),$ $m_{ijk} = \inf\limits_{(x,y,z) \in \Theta_{ijk}} f(x,y,z).$ Тогда для любых $z \in \Delta z_k$ справедливы следующие неравенства:
$m_{ijk} \Delta{x_i} \Delta{y_j} \leq$ $\iint\limits_{\Pi_{ij}} f(x,y,z)\,dx\,dy \leq$ $M_{ijk} \Delta{x_i} \Delta{y_j}.$
Зафиксируем произвольное $z = \xi_k \in \Delta z_k.$ Суммируя эти неравенства по индексам $i$ и $j,$ получаем
$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m {m_{ijk} \Delta{x_i} \Delta{y_j}} \leq$ $\iint\limits_{\Pi} f(x,y,\xi_k)\,dx\,dy \leq$ $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m {M_{ijk} \Delta{x_i} \Delta{y_j}}.$
Почленно умножая полученные неравенства на $\Delta{z_k}$ и вводя суммирование по $k$-му индексу, получаем следующее:
$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \sum\limits_{k=1}^l {m_{ijk} \Delta{x_i} \Delta{y_j} \Delta{z_k}} \leq$ $\sum\limits_{k=1}^l \iint\limits_{\Pi} f(x,y,\xi_k)\,dx\,dy\,\Delta{z_k} \leq$ $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \sum\limits_{k=1}^l {M_{ijk} \Delta{x_i} \Delta{y_j} \Delta{z_k}}.$
Крайние члены неравенств представляют собой суммы Дарбу $s_T$ и $S_T$ для интеграла $\iiint\limits_\Theta f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz,$ поэтому $s_T, \, S_T \rightarrow \iiint\limits_\Theta f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$ при $\Delta{x_i}, \, \Delta{y_j}, \, \Delta{z_l} \rightarrow 0,$ а значит, к интегралу $\iiint\limits_\Theta f(x,y,z)$ будет стремиться и сама интегральная сумма $\sum\limits_{k=1}^l \iint\limits_{\Pi} f(x,y,\xi_k)\,dx\,dy\,\Delta{z_k}.$ Таким образом, справедлива следующая формула:
$$\iiint\limits_\Theta f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \iint\limits_\Pi dx \,dy \int\limits_e^f f(x,y,z) \, dz.$$
Для случая же произвольной области $\Omega = \{(x,y,z): (x,y) \in G \subset \mathbb{R}^2, \phi(x,y) < z < \psi(x,y) \}$ достаточно определить функцию $F(x,y,z),$ действующую следующим образом:
$$F(x,y) = \left\{\begin{matrix} f(x,y,z), & (x,y,z) \in \Omega, \\ 0, & (x,y,z) \in \Theta \setminus \Omega. \end{matrix}\right. \; (7)$$
где $\Theta$ — прямоугольный параллелепипед, включающий в себя область $\Omega.$ В результате приходим к равенству
$$\iiint\limits_\Theta F(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \iint\limits_\Pi dx \,dy \int\limits_e^f F(x,y,z) \, dz,$$
из которого путем подстановки выражения $(7)$ получаем формулу $(6).$
Теорема доказана.
[свернуть]