Оглавление
- Несобственный интеграл, зависящий от параметра. Определение.
- Равномерная сходимость
- Примеры
- Список литературы
- Тесты
Несобственный интеграл, зависящий от параметра
Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$, являющийся функцией от $y$. Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$. Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.
Возьмем функцию $f(x,y)$. Интеграл вида $ \int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$, при выполнении следующих условий:
- $- \infty < a < b \leq + \infty $
- функция $f(x,y)$ определена на $[a, b) \times Y$, где $Y$ является множеством параметров.
- $ \forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$.
- $ \forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.
Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$, при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$, такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$$
Читать далее «Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.»