Доказательство

В силу непрерывности [latex]f[/latex], для любого [latex]x\in K[/latex] найдётся окрестность [latex]U_{x}[/latex], такая что функция [latex]f[/latex] ограничена на множестве [latex]U_{x}[/latex], то есть для каждого [latex]y\in K \cap U_{x}[/latex] справедливо неравенство [latex]\begin{Vmatrix} f(y) \end{Vmatrix}\leq M_{x}[/latex], где [latex]M_{x}[/latex] зависит от [latex]x[/latex]. Совокупность открытых шаров [latex]U_{x}[/latex] образует открытое покрытие компактного множества [latex]K[/latex]. В силу компактности, из него можно выделить конечное подпокрытие [latex]U_{x_{1}}, …, U_{x_{p}}[/latex]. Этим шарам соответствуют числа [latex]M_{x_{1}}, …, M_{x_{p}}[/latex]. На каждом и этих шаров функция [latex]f[/latex] ограничена этим числом. Пускай [latex]M=\max_{1\leq i\leq p}M_{x_{i}}[/latex]. Тогда для любого [latex]x\in K[/latex] получим, что [latex]\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M[/latex].

Пусть функция [latex]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex] непрерывна на [latex]\left[a, b \right][/latex]. По первой теореме Вейерштрасса эта функция ограничена на [latex]\left[a, b \right][/latex].

Доказательство

Пусть [latex]f: E\rightarrow \mathbb{R}[/latex], где [latex]E\subset \mathbb{R}^{n}[/latex]. Функция [latex]f[/latex] называется ограниченной сверху на множестве [latex]E[/latex], если существует такая постоянная [latex]M[/latex], то для всех [latex]x\in E[/latex] справедливо неравенство [latex]\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M[/latex]. Каждое такое число [latex]M[/latex] называется верхней границей функции [latex]f[/latex], а наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей или верхней гранью функции [latex]f[/latex] и обозначается [latex]\sup_{x\in E}f\left(x \right)[/latex].

Пойдём от противного. Допустим, верхняя грань не достигается, то есть для каждого [latex]x\in K[/latex] справедливо неравенство [latex]f(x)<M[/latex], где [latex]M[/latex] — верхняя грань функции [latex]f[/latex] на [latex]K[/latex].

Рассмотрим функцию [latex]\varphi (x)=\frac{1}{M-f(x)}[/latex]. Эта функция положительна и непрерывна в каждой точке [latex]x\in K[/latex]. По ранее доказанной первой теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует такое число [latex]\mu >0[/latex], что [latex]\varphi (x)\leq \mu [/latex] для любого [latex]x\in K[/latex]. Это означает, что [latex]\frac{1}{M-f(x)}\leq \mu[/latex], или, что то же самое, [latex]f(x)\leq M-\frac{1}{\mu}(x\in K)[/latex]. Следовательно, число [latex]M-\frac{1}{\mu}[/latex] является верхней границей для функции [latex]f[/latex]. Но так как [latex]\mu >0[/latex], то это противоречит тому, что [latex]M[/latex] является верхней гранью функции [latex]f[/latex], то есть наименьшей из всех верхних границ.

Аналогично теорема доказывается и для нижней грани.

Пусть функция [latex]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex] непрерывна на [latex]\left[a, b \right][/latex]. Тогда на этом множестве функция [latex]f[/latex] достигает своей верхней и нижней граней [latex]M=f(x^{»})=\sup_{x\in E}f\left(x \right)[/latex], [latex]m=f(x^{‘})=\inf_{x\in E}f\left(x \right)[/latex].