M1724

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 2 выпуск)

Условие задачи

В треугольнике [latex] ABC [/latex] проведены высоты [latex] AD [/latex] и [latex] CE [/latex], пересекающиеся в точке [latex] O [/latex](рис.1). Прямая [latex] DE [/latex] пересекает продолжение стороны [latex] AC [/latex] в точке [latex] K[/latex].

Докажите, что медиана [latex] BM [/latex] треугольника [latex] ABC [/latex] перпендикулярна прямой [latex] OK [/latex].

Решение

Докажем, что прямая [latex] OM [/latex] перпендикулярна на [latex] KB [/latex] (рис.1).
Отсюда непосредственно будет следовать утверждение задачи, поскольку в этом случае [latex] O [/latex] окажется ортоцентром треугольника [latex] KBM [/latex] (рис.2).

Пусть основание перпендикуляра, опущенного из точки [latex] O [/latex] на прямую [latex] BK [/latex], служит точка [latex] N [/latex] (рис.3).

Поскольку точки [latex] E [/latex] и [latex] N [/latex] лежат на окружности с диаметром [latex] OB [/latex], то угол [latex] BND [/latex] равен углу [latex] BED [/latex]. Аналогично, четырехугольник [latex] AEDC [/latex] вписан в окружность с диаметром [latex] AC [/latex].

Поэтому угол [latex] BED [/latex] равен углу [latex] ACB[/latex]. Таким образом, сумма углов [latex] KND [/latex] и [latex] ACB [/latex] равна [latex]180^\circ[/latex], т.е. четырехугольник [latex] KNDC [/latex] вписанный.

Значит, угол [latex] NCK [/latex] равен углу [latex] NDK [/latex]. Но угол [latex] NDE [/latex] равен углу [latex] NBE [/latex] в силу того, что точки[latex] B [/latex],[latex] D [/latex],[latex] E [/latex] и [latex] N [/latex], как мы уже отмечали, лежат на одной окружности с диаметром [latex] OB [/latex]. Поэтому равны углы [latex] NBA [/latex] и [latex] NCA [/latex]. Т.е. точка [latex] N [/latex] лежит на описанной окружности треугольника [latex] ABC [/latex].

Нам осталось совсем немного. Продолжим прямую [latex] NO [/latex] до пересечения с описанной окружностью треугольника [latex] ABC [/latex] в точке [latex] P [/latex] (рис.4).

Так как угол [latex] BNP [/latex] прямой, то [latex] BP [/latex] — диаметр этой окружности. Значит, углы [latex] BAP [/latex] и [latex] BCP [/latex] прямые. Поэтому отрезок [latex] AP [/latex] параллелен [latex] CE [/latex], а [latex] PC [/latex] параллелен [latex] AD [/latex]. Но отсюда [latex] APCO [/latex]- параллелограмм, и прямая [latex] NO [/latex] делит [latex] AC [/latex] пополам, что и требовалось доказать.

М. Волкевич