Подструктуры

Подгруппа

Пусть [latex]H\neq\varnothing[/latex]. Множество [latex]H[/latex] является подгруппой группы [latex]G[/latex], если само [latex]H[/latex] является группой относительно сужения операции, определённой на [latex]G[/latex].

Критерий подгруппы

Пусть [latex]G[/latex] — группа. [latex] H\in G. H\neq\varnothing[/latex]
Тогда [latex]H[/latex] является подгруппой [latex]G \Leftrightarrow \forall a,b\in H ab^{-1}\in H ((a-b)\in H).[/latex], где [latex]b^{-1}[/latex] — элемент, обратный к [latex]b[/latex].

Задача

Проверить, являеется ли группа [latex](mZ,+) (m\geq 1)[/latex] подгруппой группы [latex](Z, +)[/latex], где [latex]Z[/latex] — множество целых чисел.

Спойлер

То, что [latex](mZ,+)[/latex] — группа, легко доказывается по определению.
Рассмотрим любые два элемента, принадлежищие множеству [latex]mZ[/latex].
[latex]\forall a,b\in mZ a=ma_1, b=mb_1 a,b,m\in Z[/latex]
[latex]a-b=ma_1-mb_1=m(a_1-b_1)\in mZ[/latex]
[latex]\Rightarrow[/latex] по критерию [latex](mZ,+)[/latex] подгруппы является подгруппой [latex](Z,+).[/latex]

[свернуть]

Подкольцо

Рассмотрим кольцо [latex]\mathcal{R}=(R,+,\cdot ,0,1)[/latex]. Если множество [latex]Q[/latex] есть подмножество множества [latex]R[/latex], замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца [latex]R[/latex], содержащее нуль и единицу кольца [latex]R[/latex], а также вместе с каждым [latex]x\in Q[/latex] содержащее противоположный к нему элемент [latex](-x)[/latex], то [latex]\mathcal{Q}=(Q,+,\cdot ,0,1)[/latex] также есть кольцо. Его называют подкольцом кольца [latex]\mathcal{R}[/latex].

Другими словами, [latex]\mathcal{Q}[/latex] называется подкольцом в [latex]\mathcal{R}[/latex], если оно само является кольцом относительно сужения операций, определенных на [latex]R[/latex].

Критерий подкольца

Непустое подмножество [latex]R_1[/latex] кольца [latex]R[/latex] будет его подкольцом [latex]\Leftrightarrow[/latex]

  1. [latex]\forall a,b\in R_1 (a+b)\in R_1[/latex]
  2. [latex]\forall a,b\in R_1 ab\in R_1[/latex]

Подполе

Пусть [latex]P[/latex]-поле. [latex]L\subset P, L\neq\varnothing.[/latex]
[latex]L[/latex] называется подполем [latex]P[/latex], если [latex]L[/latex] само является полем относительно сужения операций, определённых на [latex]P[/latex].
При этом [latex]P[/latex] называется расширением [latex]L[/latex].
Понятие подполя определяется аналогично понятию подкольца.Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом [latex]x[/latex] содержать обратный к нему по умножению поля элемент [latex]x^{-1}[/latex] . Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля.

Пример

Спойлер

Если [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] — различные элементы поля [latex]F[/latex], то мы можем определить новое сложение [latex]\oplus[/latex] и новое умножение [latex]\odot[/latex] в [latex]F[/latex] следующим образом:
[latex]x\oplus y=x+y-a, x\odot y=a-(x-a)(y-a)/(b-a).[/latex]
(В геометрических терминах: мы меняем начало координат и масштаб.) Легко видеть, что элементы множества [latex]F[/latex] образуют также поле и относительно новых операций. Мы обозначаем это новое поле через [latex]F'[/latex]. Ясно, что подмножество поля [latex]F[/latex], которое является подкольцом поля [latex]F'[/latex], не будет, вообще говоря, подкольцом поля [latex]F[/latex]. Отметим, что [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] будут соответственно нулем и единицей поля [latex]F'[/latex].

[свернуть]

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных