Поле

Понятие поля:

Коммутативное кольцо P , в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Так как любое поле является кольцом, следовательно операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, им присущи данные свойства:

  1. Всюду определенность;
  2. Однозначность;
  3. Замкнутость;

we

Rew

Также эти операции из-за того что это поле будут иметь следующие свойства:

  1. Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ +$ выполняются следующие свойства:
    • сложение коммутативно, $ a+b=b+a$,
    • сложение ассоциативно, $ a+(b+c)=(a+b)+c$,
    • существует единственный нулевой элемент 0 такой, что $ a+0=a$ для любого элемента $ a$,
    • для каждого элемента $ a$ существует единственный противоположный элемент — $ a$ такой, что $ a+(-a)=0$.
  2. Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ *$ выполняются следующие свойства:
    • умножение коммутативно, $ ab=ba$,
    • умножение ассоциативно, $ a(bc)=(ab)c$,
    • существует единственный единичный элемент 1 такой, что $ a\times 1=1\times a=a$ для любого элемента $ a$,
    • для каждого ненулевого элемента $ a$ существует единственный обратный элемент $ a^{-1}$ такой, что $ aa^{-1}=a^{-1}a=1$.
  3. Операции сложения и умножения связаны между собой следующим соотношением: умножение дистрибутивно относительно сложения, $ (a+b)c=ac+bc$.

Примеры полей:

  1. Рациональные числа;
  2. Вещественные числа;
  3. Комплексные числа;
  4. Поле вычетов по модулю $p$, $p$ простое число;

Список использованной литературы:

  1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, ст. 28-29.
  2. Конспект лекций Белозерова Г.С.

Поле

Данный тест предназначен для проверки знаний по данной теме.

Построение поля комплексных чисел

Спойлер

Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «$latex i$» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

[свернуть]

Спойлер

Множеством комплексных чисел называется множество $latex \mathbb{R}^2$ при условии выполнения следующих требований:

  1. $latex (a,b)=(c,d) $ $latex \Leftrightarrow $ $latex a=c $ и $latex b=d $;
  2. $latex (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) $;
  3. $latex (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) $.

[свернуть]
Расширение числовых множества Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение $latex x^2+1=0 $ не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

  1. $latex \mathbb{C} $ — поле;
  2. $latex \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $;
  3. $latex x^2+1=0 $ — разрешимо в $latex \mathbb{C} $ (1);
  4. $latex \mathbb{C} $ минимально по включениям.
Спойлер

$latex \mathbf{I.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C},+)} $ — абелева группа.

  • Алгебраичность сложения;
  • Ассоциативность:

    $latex [(a,b)+(c,d)]+(e,f) $ $latex = $ $latex (a+c,b+d)+(e,f) $ $latex = $ $latex ((a+c)+e,(b+d)+f) $ $latex = $ $latex (a+(c+e),b+(d+f)) $ $latex = $ $latex (a,b)+(c+e,d+f) $ $latex = $ $latex (a,b)+[(c,d)+(e,f)] $;

  • Коммутативность:

$latex (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b) $;

  • Нейтральный элемент:

$latex (0,0)+(a,b)=(a,b) $;

  • Обратный элемент:

$latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $  $latex \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C} $

$latex (a,b)+(-a,-b)=(0,0) $;

$latex \mathbf{II.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)} $ — абелева группа.

  • Алгебраичность умножения;
  • Ассоциативность умножения;
  • Коммутативность умножения;
  • Единица:  $latex e=(1,0) $

$latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C} $, $latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $

$latex (a,b)(x,y)=(a,b) $ $latex \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b) $

$latex \begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases} $

Рассмотрим возможные решения системы:

1) $latex a\neq0,~b\neq0 $

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases} $

$latex (a^2+b^2)x=a^2+b^2 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.

2) $latex a\neq0,~b=0 $

$latex \begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases} $

$latex x=1,~y=0 $.

3) $latex a=0,~b\neq0 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.

Следовательно, $latex e=(1,0) $.

  • Обратный элемент:

$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $ $latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $:

$latex (a,b)(x,y)=(1,0) $

$latex (ax-by,bx+ay)=(1,0) $

$latex \begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases} $

Домножим первое уравнение системы на $latex a $, а второе — на $latex b $, $latex a\neq0,~b\neq0 $.

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases} $
$latex (a^2+b^2)x = a $ $latex \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2} $.

$latex \frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1 $ $latex \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by $ $latex \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by $ $latex \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2} $.

$latex (a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}) $.

$latex \mathbf{III.} $ Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
$latex (a,b)[(c,d)+(e,f)] $ $latex = $ $latex (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Спойлер

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

$latex M \subset \mathbb{C} $, $latex M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\} $ $latex = $ $latex \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\} $.

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида $latex (a,0) $), где $latex x $ является  реальной частью комплексного числа, и их свойства:

  • $latex (a,0)+(b,0) = (a+b,0) $ $latex \epsilon~M $;
  • $latex (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0) $ $latex \epsilon~M $;
  • $latex (0,0)~\epsilon~M $, $latex (1,0)~\epsilon~M $;
  • $latex -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M $;
  • $latex (a,0)^{-1},~a\neq0 $, $latex (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M $.

Таким образом, $latex f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M $

$latex f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R} $.

  • $latex f $ — биекция;
  • $latex f(a,b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b) $;
  • $latex f(ab)=f(a)\cdot f(b) $;$latex f(-a)=-(a,0) $;
    $latex f(a^{-1})=(f(a))^{-1} $.

$latex a \to (a,0)$. Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Спойлер

$latex x^2+1=0 $. Обозначим $latex 0 = (0,0) $, $latex 1 = (1,0) $ и $latex x = (u,v)$ $latex \Rightarrow $

$latex (u,v)^2+(1,0)=(1,0) $

$latex (u^2-v^2,2uv)=(0,0) $

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

$latex \begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases} $

$latex v\neq0,~u=0 $,

$latex v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1)$,

Следовательно, возможные решения уравнения — $latex (0,1),~(0,-1) $.

$latex i=(0,1),~-i=(0,-1) $ — мнимая единица $latex i $.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Спойлер

Любое подмножество $latex \mathbb{C’} $ множества $latex \mathbb{C} $ совпадает с $latex \mathbb{C} $, если для $latex \mathbb{C’} $ выполнимо:

    • $latex \mathbb{R}\subset\mathbb{C’} $;
    • разрешимо уравнение $latex x^2+1=0 $;
    • $latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C’} $, $latex (a+b)~\epsilon~\mathbb{C’} $;
    • $latex a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C’} $.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Список источников:

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля

Группа

Множество $G$ с бинарной алгебраической операцией $\ast$ называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция $\ast$ в $G$ ассоциативна: $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G$;
  2. В $G$ существует нейтральный элемент $\theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;$
  3. Для каждого элемента $a\in G$ существует обратный ему элемент $a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta $.

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Спойлер

  1. Ассоциативность очевидна
    $\forall a,b,c\in R a+(b+c)=(a+b)+c$
  2. Нейтральным элементом является число 0.
    $ 0+a=a+0=a \forall a\in r$
  3. Для каждого элемента множества R существует обратные ему элемент, также принадлежащий множеству $R$ .
    $ a^{-1}=-a$
    $\forall a\in R a+(-a)=(-a)+a=\theta=0$

$\Rightarrow R$ является группой относительно операции сложения.
Проверим коммутативность:
$ \forall a,b\in R a+b=b+a$ — верно.
$\Rightarrow$Группа абелева.
Что и требовалось доказать

[свернуть]

Кольцо

Множество $K$ , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение $\cdot$, называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество $K$ — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: $a+b=b+a \forall a,b\in K;$
    2. Операция сложения ассоциативна:$ a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;$
    3. Существует нулевой элемент $\theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;$
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент $(-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;$
  2. Операция умножения в множестве $K$ ассоциативна:
    $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$ \forall a,b,c\in K$
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b \forall a,b,c\in K$

Если операция умножения коммутативна:$a\cdot b=b\cdot a$, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент $e: a\cdot e=e\cdot a=a$, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Спойлер

    1. Коммутативность сложения
      $ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=(c+di)+(a+bi)$ $ \forall (a+bi),(c+di)\in C$
    2. Ассоциативность сложения
      $ ((a+bi)+(c+di))+(e+fi)=((a+c)+(b+d)i)+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+((c+e)+(d+f)i)=(a+bi)+((c+di)+(e+fi))$ $ \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C$
    3. Существование нейтрального элемента
      $ \forall (a+bi)\in C (a+bi)+(0+0i)=(a+bi)$
    4. Существование обратного элемента
      $ \forall (a+bi)\in C \exists (-a-bi)\in C:
      (a+bi)+(-a-bi)=(0+0i)$
  1. Ассоциативность умножения
    $ \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C
    (a+bi)\cdot ((c+di)\cdot (e+fi))=(a+bi)\cdot ((ce-df)+(cf+de)i)=(a\cdot (ce-df)-b\cdot (cf+de))+(a\cdot (cf+de)+b\cdot (ce-df))i)=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i=(e\cdot (ac-bd)-f\cdot (ad+bc))+(e\cdot (ad+bc)+ f\cdot (ac-bd))=((a+bi)\cdot (c+di))\cdot (e+fi)$
  2. Дистрибутивность сложения и умножения
    $ \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C
    ((a+bi)+(c+di))\cdot (e+fi)=((a+c)+(b+d)i)\cdot (e+fi)=((a+c)e-(b+d)f)+((a+c)f+(b+d)e)i)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)i=(ae-bf)+(be+af)i+(ce-df)+(cf+de)i=(a+bi)\cdot (e+fi)+(c+di)\cdot (e+fi)$

Множество комплексных чисел является кольцом

[свернуть]

Поле

Полем называется кольцо $P$, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. $\forall a,b\in P$, где $a\neq 0$, уравнение $ax = b$ имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что $aq = b$.

2. $P$ содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных