Понятие поля:
Коммутативное кольцо P , в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.
Так как любое поле является кольцом, следовательно операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, им присущи данные свойства:
- Всюду определенность;
- Однозначность;
- Замкнутость;
Также эти операции из-за того что это поле будут иметь следующие свойства:
- Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ +$ выполняются следующие свойства:
- сложение коммутативно, $ a+b=b+a$,
- сложение ассоциативно, $ a+(b+c)=(a+b)+c$,
- существует единственный нулевой элемент 0 такой, что $ a+0=a$ для любого элемента $ a$,
- для каждого элемента $ a$ существует единственный противоположный элемент — $ a$ такой, что $ a+(-a)=0$.
- Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ *$ выполняются следующие свойства:
- умножение коммутативно, $ ab=ba$,
- умножение ассоциативно, $ a(bc)=(ab)c$,
- существует единственный единичный элемент 1 такой, что $ a\times 1=1\times a=a$ для любого элемента $ a$,
- для каждого ненулевого элемента $ a$ существует единственный обратный элемент $ a^{-1}$ такой, что $ aa^{-1}=a^{-1}a=1$.
- Операции сложения и умножения связаны между собой следующим соотношением: умножение дистрибутивно относительно сложения, $ (a+b)c=ac+bc$.
Примеры полей:
- Рациональные числа;
- Вещественные числа;
- Комплексные числа;
- Поле вычетов по модулю $p$, $p$ простое число;
Список использованной литературы:
- Воеводин, В.В. Линейная алгебра : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, ст. 28-29.
- Конспект лекций Белозерова Г.С.
Поле
Данный тест предназначен для проверки знаний по данной теме.