Теорема (арифметические операции со сходящимися последовательностями)

Пусть последовательность $latex \underset{n\to\infty}{\left\{x_{n}\right\}\rightarrow a} $, а $latex \underset{n\to\infty}{\left\{y_{n}\right\}\rightarrow b} $. Тогда верны следующие утверждения:

1. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n}\pm y_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\pm\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\pm b $.
2. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n}\cdot y_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\cdot b $.
3. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n}}{ y_{n}}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}}=\frac{a}{b},\;b\neq 0,\;y_{n}\neq 0 $.

Доказательство.

1. $latex \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left ( a+\alpha_{n} \right ) $
   $latex \lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left ( b+\beta_{n} \right ) $,
   где $latex \alpha_{n}$ и $latex \beta_{n} $ — бесконечно малые последовательности.
   $latex x_{n}+y_{n}=\left(a+\alpha_{n}\right)+\left(b+\beta_{n}\right)=\left(a+b\right)+\left(\alpha_{n}+\beta_{n}\right)=a+b $
2. $latex x_{n}=a+\alpha_{n} $, $latex y_{n}=b+\beta_{n} $, где $latex \alpha_{n}$ и $latex \beta_{n} $ — бесконечно малые последовательности.
   $latex x_{n}\cdot y_{n}=\left(a+\alpha_{n}\right)\cdot\left(b+\beta_{n}\right)=ab+a\beta_{n}+\alpha_{n}b+\alpha_{n}\beta_{n}=ab $
   (по свойству бесконечно малых последовательностей)
3. $latex x_{n}=a+\alpha_{n} $, $latex y_{n}=b+\beta_{n} $, где $latex \alpha_{n}$ и $latex \beta_{n} $ — бесконечно малые последовательности.
   $latex \frac{a+\alpha_{n}}{b+\beta_{n}}=\frac{a}{b+\beta_{n}}+\alpha_{n}\cdot\frac{1}{b+\beta_{n}}=\frac{a}{b} $
   (по свойству бесконечно малых последовательностей)

Примеры

1. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n+\cos n}{2^{n+1}+\sin n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\cos n\right)}{2^{n+1}\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\sin n^2\right)}=\frac{1}{2}\frac{\left(1+0\right)}{\left(1+0\right)}=\frac{1}{2} $
2. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[n]{a}}}=\frac{1}{1}=1 $ при $latex a>0 $
3. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(-2\right)^n+3^n}{\left(-2\right)^{n+1}+3^{n+1}}=? $
   $latex \frac{\left(-2\right)^n+3^n}{\left(-2\right)^{n+1}+3^{n+1}}= $ (делим числитель и знаменатель на $latex 3^{n+1} $) $latex =\frac{\frac{\left(-2\right)^n}{3^{n+1}}+\frac{1}{3}}{\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1}=\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{-2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}}{\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1} $
   Предел частного = частному пределов, поэтому:
   $latex \frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3}\left(\frac{-2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}\right)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1\right)}=\frac{0\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{0+1}=\frac{1}{3} $.
4. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2n^2}+\sqrt[n]{5}-\frac{\sin^2 3}{3^n}\right) $
   Предел суммы равен сумме пределов, поэтому:
   $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2n^2}+\sqrt[n]{5}-\frac{\sin^2 3}{3^n}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n^2}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{5}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin^2 3}{3^n}=0+1+0=1 $.

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
• Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.,1969. стр. 16-17

Арифметические операции со сходящимися последовательностями

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

С помощью этого теста пользователь проверит свои навыки в нахождении пределов сходящихся последовательностей.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Поздравляю, вы завершили тест!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 15 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Какой операции нет в теореме об арифметических операциях над сходящимися последовательностями?

   • Частное
   • Сумма
   • Разность
   • Композиция
   • Произведение
   Правильно
   

   Это было несложно, правда?

   Неправильно
   

   Подсказка

   Вспомните, какие операции являются арифметическими.
2. Задание 2 из 3

   2.

   Расположите значения следующих выражений в убывающем порядке.

   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\ln n $$
   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a},\:a>1 $$
   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{10000n}{n^2+1} $$
   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2-n^4}{n\left(3n^3+2\right)} $$
   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2n+1}a^n,\:a>1 $$
   Правильно 10 / 10Баллы

   Неправильно / 10 Баллы
3. Задание 3 из 3

   3.

   Какие из следующих выражений равносильны?

   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{n\cdot\ln e^n} $$
   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{9\cdot 2^n}{6\cdot 2^{n-1}}\right) $$
   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\left|\cos n\right|} $$
   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{6n\left(n-1\right)}{2n^2} $$
   • <script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script> $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{18n^2}\cdot\sqrt{2}}{2n} $$
   • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}6\sqrt[n]{e} $$
   Правильно 4 / 4Баллы

   Неправильно / 4 Баллы

Предел последовательности

Последовательность — это функция натурального аргумента.

Последовательности вида:

[latex]x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots [/latex]

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

[latex](x_n) [/latex]  или  [latex](x_n)_{n=1}^{\infty}[/latex]

иногда используются фигурные скобки:

[latex]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/latex].

Пример: числовые последовательности:

1) [latex]1, 2,\dots, n,\dots[/latex];

2) [latex]1, -1, 1, -1,\dots,(-1)^{n},\dots[/latex];

3) [latex]1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots ,\frac{1}{n}, \cdots ;[/latex]

Определение. Число  [latex]a[/latex] называется пределом последовательности [latex]\{x_n\}[/latex], если для каждого [latex]\varepsilon [/latex]>0 существует такой номер  [latex]N_{\varepsilon }[/latex], что для всех  [latex]n>N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство: 

[latex]\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex]

Если  [latex]a[/latex] — предел последовательности, то пишут : [latex]a=\lim\limits_{n \to \infty }{x_{n}}[/latex].

С помощью логических символов это определение можно записать  в виде:

[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}= a \right \} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists N_{\varepsilon }\in \mathbb{N}:\forall n \geq N_{\varepsilon }: \left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex].

Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Из определения следует, что последовательность [latex]\{ x_{n} \}[/latex] имеет предел, равный  [latex]a[/latex], тогда и только тогда, когда последовательность [latex]\{ x_{n}-a \}[/latex] имеет предел, равный нулю, т. е.:

[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =a \right \}\Leftrightarrow \left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n}-a) =0 \right \}[/latex]

Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности [latex] x_{n}[/latex], если:

[latex]x_{n}= \frac{n-1}{n}[/latex].

Решение:

Докажем, что  [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex]. Так как  [latex] x_{n}=1-\frac{1}{n}[/latex], то [latex]\left | x_{n}-1 \right |=\frac{1}{n}[/latex]. Возьмем произвольное число  [latex]\varepsilon > 0[/latex]. Неравенство  [latex]\left | x_{n}-1 \right | < \varepsilon[/latex] будет выполняться, если [latex]\frac{1}{n}< \varepsilon[/latex]. Выберем в качестве [latex]N_{\varepsilon}[/latex]  какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию  [latex]N_{\varepsilon}> \frac{1}{\varepsilon}[/latex], например, число  [latex]N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ] + 1[/latex]. Тогда для всех  [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] будет выполняться неравенство  [latex]\left | X_{n}-1 \right | = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N_{\varepsilon }} < \varepsilon [/latex]. По определению предела это означает, что  [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex].

 Геометрический смысл предела

Согласно определению число [latex]a[/latex] является пределом последовательности  [latex] x_{n} [/latex], если при всех  [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство  [latex]\left | x_{n}-a \right | < \varepsilon [/latex] которое можно записать в виде:

[latex]a-\varepsilon < x_{n}< a+\varepsilon [/latex]

Другими словами, для каждого  [latex] \varepsilon > 0[/latex] найдется номер  [latex] N_{\varepsilon} [/latex], начиная с которого все члены последовательности  [latex] x_{n} [/latex] принадлежат интервалу [latex]\left ( a-\varepsilon ;a+\varepsilon \right )[/latex].

Этот интервал называют  [latex] \varepsilon[/latex]-окрестностью точки [latex]a[/latex]и обозначают  [latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )[/latex].

[latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )=\left \{ x: a-\varepsilon < x< a+\varepsilon \right \} = \left \{ x:\left | x-a \right | < \varepsilon \right \}[/latex].

Итак, число  [latex]a[/latex] — предел последовательности [latex] x_{n} [/latex], если для каждой [latex] \varepsilon [/latex]-окрестности точки  [latex]a[/latex] найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов.

Литература:

1. Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема: «Предел последовательности » )
2. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (с. 35-39)

Последовательность

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Этот тест по теме: Предел последовательности.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математическая логика 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Последовательность — это…
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   
   Предел последовательности.

   • Последовательность, у которой существует предел, называют (сходящаяся, сходящейся), а если никакое число не является ее пределом, то она (расходящаяся, расходящейся).
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Как называют этот интервал  [latex]\left ( a-\varepsilon ;a+\varepsilon \right )[/latex]?
   

   • Дельта окрестность точки $a$.
   • Эпсилон окрестность точки $a$.
   • $ \overset{\circ}{U_{\varepsilon}}\left(a\right) $
   Правильно
   

   Неправильно