Метка: пространство

M1815. О перпендикулярах в неплоском четырехугольнике

Задача из журнала «Квант»(2002 год, 2 выпуск)

Условие

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам неплоского четырехугольника $ABCD$ взаимно перпендикулярны.

Докажите, что они пересекаются.

Решение

Инструментом решения является теорема Менелая для пространственного четырехугольника, утверждающая, что точки $X,$ $U,$ $Y,$ $V,$ взятые на сторонах четырехугольника $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DA$ или их продолжениях, лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CY}{YD} \cdot \frac{DV}{VA} = 1.$

Для доказательства теоремы Менелая продолжим прямые $XU$ и $YV$ до пересечения с $AC.$ Точки $X,$ $U,$ $Y,$ $V$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда все три прямые пересекаются в одной точке $P$ либо параллельны (рис. 1).

Рис. 1

Но в этом случае, применяя теорему Менелая к треугольникам $ABC$ и $ACD,$ получаем $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$ и $\frac{CY}{YD} \cdot \frac{DV}{VA} \cdot \frac{AP}{PC} = 1.$ Перемножая эти равенства, получим требуемое соотношение.

Пусть теперь $XY$ – перпендикуляр к сторонам $AB$ и $CD,$ $UV$ – перпендикуляр к $AD$ и $BC.$ При ортогональной проекции на плоскость, параллельную $XY$ и $UV,$ прямой угол между прямыми $AB$ и $XY$ остается прямым. Поэтому четырехугольник $ABCD$ проецируется в прямоугольник $A’B’C’D’,$ а прямые $XY$ и $UV$ – в параллельные его сторонам прямые $X′Y′$ и $U′V′$ (рис. 2). Очевидно, что $\frac{A’X’}{X’B’} \cdot \frac{B’U’}{U’C’} \cdot \frac{C’Y’}{Y’D’} \cdot \frac{D’V’}{V’A’} = 1.$

Рис. 2

Следовательно, $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CY}{YD} \cdot \frac{DV}{VA} = 1,$ и по теореме Менелая точки $X,$ $Y,$ $U,$ $V$ лежат в одной плоскости. Отсюда сразу следует утверждение задачи.

А.Заславский

Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства [latex]\mathbb{R}^n[/latex] можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество [latex]F \subset \mathbb{R}^n[/latex] имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество [latex]F[/latex] является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку [latex]F[/latex] еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, [latex]F[/latex] компактно. Для каждой точки [latex]x \in F[/latex] построим такую окрестность [latex]U_x[/latex], в которой нет других точек из [latex]F[/latex], кроме [latex]x[/latex] (если бы для какой-то точки [latex]x[/latex] такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для [latex]F[/latex]). Тогда семейство [latex]\left\{U_x \right\}_{x \in F}[/latex] образует открытое покрытие компактного множества [latex]F[/latex]. Пользуясь компактностью [latex]F[/latex], выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества [latex]E[/latex]. Но это противоречит тому, что множество [latex]E[/latex] бесконечно.[latex]\square[/latex]
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству [latex]E[/latex].

Литература:

Критерий компактности в n-мерном пространстве (Теорема Гейне – Бореля)

Теорема Гейне – Бореля. Чтобы множество [latex]K \subset \mathbb{R}^n[/latex] являлось компактным, необходимо и достаточно, чтобы [latex]K[/latex] было ограниченным и замкнутым.

Доказательство. Достаточность. Пусть [latex]K[/latex] замкнуто и ограничено. Тогда найдется сегмент [latex]I \subset \mathbb{R}^n[/latex], содержащий [latex]K[/latex]. В силу леммы Гейне – Бореля, этот сегмент [latex]I[/latex] компактен. Поэтому, в силу свойств компактных множеств, компактно также его замкнутое подмножество [latex]K[/latex]. Необходимость. Пусть [latex]K[/latex] —  компакт. Докажем, что данное множество ограничено. Обозначим через [latex]B_s[/latex] открытый шар с центром в точке [latex]0[/latex] радиуса [latex]s[/latex]. Тогда последовательность шаров[latex]\left\{B_s\right\}^{\infty}_{s=1}[/latex] покрывает все пространство [latex]\mathbb{R}^n[/latex], а следовательно, и множество [latex]K[/latex]. Так как [latex]K[/latex] компактно, следовательно, оно может быть покрыто конечным набором шаров [latex]B_s[/latex]. Среди всех этих шаров выберем шар с наибольшим радиусом. Пусть это шар [latex]B^{\ast}[/latex]. Тогда ясно, что [latex]K \subset B^{\ast}[/latex], так что [latex]K[/latex] ограничено. Покажем теперь, замкнутость множества [latex]K[/latex]. Для этого достаточно показать, что любая точка [latex]y \notin K[/latex], не будет предельной для [latex]K[/latex]. Итак, пусть [latex]y \notin K[/latex]. Рассмотрим множества [latex]G_k = c\overline{B}(y, \frac{1}{k}) (k = 1,2,…)[/latex]. Так как замкнутый шар [latex]\overline{B}(y, \frac{1}{k})[/latex] – множество замкнутое, следовательно его дополнение [latex]G_k[/latex] открыто. Кроме того, ясно, что[latex] \bigcup^{\infty}_{k=1}G_k = \mathbb{R}^n \setminus \left\{y\right\}[/latex]. Поскольку [latex]y \notin K[/latex], то совокупность множеств [latex]G_k (k = 1,2,…)[/latex] образует открытое покрытие множества [latex]K[/latex]. Пользуясь компактностью [latex]K[/latex], выберем из этого покрытия конечное подпокрытие [latex]\left\{G_{k_1},…,G_{k_s}\right\}[/latex] и положим [latex]\rho = \frac{1}{max\left\{k_1,…,k_s\right\}} > 0[/latex]. Отсюда следует, что шар [latex]B(y,\rho)[/latex] не имеет общих точек с множеством [latex]K[/latex]. Получаем, что точка [latex]y[/latex] не будет предельной для [latex]K[/latex]. [latex]\square[/latex]

Литература: