Теорема. Пусть дан степенной ряд $$\begin{equation}\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\label{eq:1} \end{equation}$$ Если существует $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|} \equiv p \gt 0,$$ то радиус сходимости ряда $\eqref{eq:1}$ равен $R = \frac{1}{p}$. Если для любого $n$ числа $a_n \neq 0$ и существует $$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \equiv p^* \gt 0,$$ то $$R = \frac{1}{p^*} = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.$$

Для доказательства первого утверждения применим признак Коши. Для фиксированного $x$ имеем $$\sqrt[n]{\left|a_nx^n\right|} = \sqrt[n]{a_n}\cdot\left|x\right|\to p\left|x\right|\left(n\to\infty\right). $$Если $\left|x\right|\lt\frac{1}{p}$, то $ρ\left|x\right|\lt 1$ и, по признаку Коши, ряд $\eqref{eq:1}$ сходится абсолютно. Если $\left|x\right|\gt\frac{1}{p}$, то $p\left|x\right|\gt 1$ и, следовательно, ряд $\eqref{eq:1}$ расходится, т. к. не выполнено необходимое условие сходимости.
Доказательство второго утверждения теоремы легко можно провести аналогично, используя признак Даламбера (проведите самостоятельно). Мы покажем, что из существования предела $ρ^∗$ следует существование предела $ρ$ и их равенство $ρ = ρ^∗$. Ясно, что отсюда также будет следовать второе утверждение теоремы.
Зададим $\epsilon \gt 0$ и найдем такой номер $N$, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $$\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-p^*\right|\lt\epsilon.$$ Тогда $$p^*-\epsilon\lt\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt p^*+\epsilon$$ т. е.
$$\left|a_n\right|\left(ρ^∗−\epsilon\right)\lt\left|a_{n+1}\right|\lt\left|a_n\right|\left(ρ^∗+\epsilon\right).$$ Применяя рекуррентно левое неравенство, получаем $$\left|a_{N+1}\right|\gt\left(ρ^∗−\epsilon\right)\left|a_N\right|,$$ $$\left|a_{N+2}\right|\gt\left(ρ^∗\epsilon\right)^2\left|a_N\right|,\dotsi,\left|a_{N+k}\right|\gt\left(ρ^∗-\epsilon\right)^k\left|a_N\right|,\dotsi,$$ а из правого неравенства следует, что $$\left|a_{N+k}\right|\lt\left(ρ^∗+\epsilon\right)^k\left|a_N\right| \left(k = 1, 2,\dotsi\right).$$
Пусть $n\gt N$, т. е. $n = N+k$, где $k\in N$. Тогда $$\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\lt\left(ρ^∗+\epsilon\right)^{\frac{n−N}{n}}\left|a_N\right|^{\frac{1}{n}} = (ρ^∗+\epsilon)^{1-\frac{N}{n}}\sqrt[n]{\left|a_N\right|}.$$ При фиксированном $N$ выражение справа стремится к $ρ^∗+\epsilon$ при $n\to\infty$. Поэтому при $n\geq N_1$ оно меньше, чем $ρ^∗+2\epsilon$. Аналогично можно показать, что при $n\geq N_2$ справедливо неравенство $\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\gt ρ^∗−2\epsilon$. Получим, что при $n\geq N_3 \equiv max \left(N_1, N_2\right)$ имеет место неравенство $$ρ^∗−2\epsilon\lt\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\lt ρ^∗+2\epsilon,$$ а это означает, что существует $$ρ\equiv \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|} = ρ^∗.$$

Замечание 1. Если в условии теоремы считать, что $\frac{1}{0} = +\infty$ и $\frac{1}{+\infty} = 0$, то теорема остается справедливой и в случаях $ρ = 0$ и $ρ = +\infty$. При этом необходимые изменения в доказательстве очевидны (проведите самостоятельно).

Замечание 2. Во второй части доказательства нашей теоремы мы,
по существу, доказали, что из существования $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\left(a_n\gt 0\right)$ следует, что существует и $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$, и эти пределы равны. Для рядов с
положительными слагаемыми это означает, что признак Коши не слабее
признака Даламбера.

Итак, мы можем находить радиус сходимости $R = \frac{1}{ρ}$ степенного ряда $\eqref{eq:1}$ в случае если существует $$ρ = \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|},$$ где $0\leq ρ\leq +\infty$. Но предел $ρ$ может и не существовать. В общем случае радиус сходимости ряда $\eqref{eq:1}$ находится следующим образом.

Теорема Коши – Адамара. Пусть дан степенной ряд $$\begin{equation}\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n.\label{eq:2} \end{equation}$$ Тогда его радиус сходимости равен $$R =\dfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}},$$ где понимается $\frac{1}{0} = +\infty$ и $\frac{1}{+\infty} = 0$.

Доказательство этой теоремы основано на применении обобщенного признака Коши сходимости рядов с положительными слагаемыми.

Теорема (обобщенный признак Коши). Пусть дан числовой ряд $$\begin{equation}\sum\limits_{n=0}^\infty u_n,\label{eq:3} \end{equation}$$ где числа $u_n \geq 0$. Если $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{u_n}\lt 1$, то ряд $\eqref{eq:3}$ сходится, а если $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{u_n}\gt 1$, то ряд $\eqref{eq:3}$ расходится.

Если $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{u_n}\gt 1$, то существует подпоследовательность номеров $n_k$, таких, что $u_{n_k}\geq 1$, а значит, $u_n$ не стремится к нулю, и следовательно, ряд $\eqref{eq:3}$ расходится, т. к. не выполнено необходимое условие сходимости. Если же $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{u_n}\equiv q\lt 1$, то для $0\lt\epsilon\lt 1−q$ найдется такой номер $N$, что для всех $n\geq N$ справедливо неравенство $\sqrt[n]{u_n}\lt q+\epsilon\lt 1$. Отсюда следует, что $u_n\lt\left(q+\epsilon\right)n$ при $n \geq N$ и, значит, ряд $\eqref{eq:3}$ сходится в силу признака сравнения.

(Теоремы Коши – Адамара). Имеем $$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{\left|a_nx^n\right|} = \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\cdot\left|x\right|.$$ Если $\left|x\right|\gt\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}$,
то для ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty\left|a_nx^n\right|$ не выполнено необходимое условие сходимости.
Следовательно, необходимое условие сходимости не выполнено и для ряда
$\eqref{eq:2}$, т. е. он расходится.