Метка: разрывы монотонной функции

Точки разрыва монотонной функции

Теорема (о разрывах монотонной функции)

Если функция $latex f$ определена на отрезке $latex \left[ a,b \right]$ и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка, точки разрыва 1-го рода, и число точек либо конечно, либо счётно.

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.

Пусть для определёности $latex f(x)$ не убывает в промежутке $latex X$. Возьмём любую точку $latex a\in X$, не совпадающую с левым концом $latex X$ , и рассмотрим ту часть $latex X$ , которая лежит влево от $latex a$ . При $latex x\rightarrow a-0, f(x)$ не убывает и ограничена сверху, поскольку $latex f(x)\leq f(a)$ при $latex x< a$.

В силу теоремы о пределе монотонной функции заключаем, что существует конечный, а согласно свойству функции, имеющей конечный предел , получим, что$latex f(a-0)\leq f(a)$.

Если $latex f(a-0)= f(a)$, то $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex a$ слева. Аналогично убеждаемся, что в каждой точке$latex a\in X$, несовпадающей с правым концом$latex X,f(x)$ либо непрерывна справа, либо имеет конечный предел$latex f(a+0)> f(a)$. Ход доказательства для невозрастающей на $latex X$  функции аналогичен.

Итак, во всякой внутренней точке $latex a$  промежутка $latex X$  монотонная функция либо имеет точку разрыва первого с конечным скачком $latex f(a+0)- f(a-0)$, либо непрерывна.

Рекомендации:

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87 ;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрыв функций»  стр.146-167 ;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 8 «Классификация точек разрыва функции»  стр.143-145.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1,§ 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ»   Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58 .

"Разрывность функции"

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Таблица лучших: "Разрывность функции"

максимум из 32 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))