Пусть функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi ,\pi ]$ в несобственном смысле. Найдем выражение для частичной суммы ее ряда Фурье по тригонометрической системе
$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } \cos { kx } +{ b }_{ k }\sin { kx= } $$
$$=\frac { 1 }{ 2\pi } \int\limits_{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)dt+\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \pi } } }\int\limits_{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)[\cos { kt\cos { kx } +\sin { kt\sin { kx } } } }]dt=$$ $$=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)\left[ \frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { k(t-x) } } \right] dt }$$
Обозначим
$${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } }. $$
Функция ${ D }_{ n }(t)$ называется ядром Дирихле. Тогда получим
$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t-x)f(t)dt.$$
Интеграл в правой части называется интегралом Дирихле.
Свойства ядра Дирихле
-
$\quad { D }_{ n }(0)=n+\frac { 1 }{ 2 } \quad (n=0,1,…).$
-
$\quad \frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)dt=1\quad (n=0,1,…).$
- $\quad { D }_{ n }(t)=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } } )t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } \quad (n=0,1,…,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N).$
-
$\quad \int\limits _{ -\pi }^{ 0 }{ { D }_{ n } } (t)dt=\int\limits _{ 0 }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)dt=\frac { \pi }{ 2 },$ или $\frac { 2 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)dt=1$
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. Том 2. стр 138-141.
- Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа. 3-е издание. 2001 год стр 572-576.
Доказательство свойств 1 и 2 вытекает из определения ядра Дирихле.
Для $n=0,1\ldots,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N$ имеем:
$${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } } =$$
$$=\frac { 1 }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } (\sin { \frac { t }{ 2 } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } \cos { kt } } )=$$
$$=\frac { 1 }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } \left[ \sin { \frac { t }{ 2 } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ (\sin { \frac { 2k+1 }{ 2 } t } -\sin { \frac { 2k-1 }{ 2 } } t) } \right] =$$
$$=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } ) } t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } }$$
Следствие
Пусть $0<\delta <\pi ,\quad x\in [-\pi,\pi ]$, $\quad 2\pi$-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi ].$ Тогда
$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \delta }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+\overline { o } (1)\quad (n\rightarrow \infty ).$$
В силу полученного выше равенства,
$${{ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \delta }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+}$$
$$+\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ \delta }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt.$$
Поэтому достаточно показать, что последнее слагаемое справа стремится к нулю при $n\rightarrow \infty $. При фиксированном $x\in [-\pi ,\pi ]$ на отрезке $t\in [\delta ,\pi ]$ функция $\frac { f(x+t)+f(x-t) }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } $ абсолютно интегрируема и поэтому, в силу теоремы Римана:
$${\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \delta }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt=}$$
$$=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ \delta }^{ \pi }{ { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } } } } )t\cdot \frac { f(x+t)+f(x-t) }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } dt\rightarrow 0,$$
$$(n\rightarrow \infty ).$$
Теорема(принцип локализации)
Пусть $2\pi $-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на отрезке $[-\pi ,\pi ]$. Тогда сходимость ряда Фурье функции $f$ в точке ${ x }_{ 0 } \in R$ зависит от существования при $n\rightarrow \infty$ предела интеграла
$$\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \delta }{ { D }_{ n } } (t)[f({ x }_{ 0 }+t)+f({ x }_{ 0 }-t)]dt,$$
где $\delta$ — сколь угодно малое положительное число. Иначе говоря, сходимость ряда Фурье в точке ${ x }_{ 0 }$ определиться лишь поведением функции $f$ в любой сколь угодно малой окрестности точки ${ x }_{ 0 }.$
Разложение в ряд Фурье линейной функции ($f\left( x \right) =kx+b$)
Литература
Тест
Проверьте свои знания
Таблица лучших: Ряды Фурье по тригонометрической системе
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |