Теорема. Пусть [latex](X,\tau)[/latex] — произвольное топологическое пространство. Тогда  система всех его замкнутых множеств имеет такие свойства:

1. Множества [latex]X[/latex] и [latex]\varnothing[/latex] будут замкнутыми;
2. Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
3. Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество;

Доказательство

1. Обозначим через [latex](X,\tau)[/latex] произвольное топологическое пространство. В таком случае, [latex]X[/latex] и [latex]\varnothing[/latex] являются замкнутыми множествами (в то же время и открытыми по 3-ей аксиоме топологического пространства), так как [latex]X\setminus\varnothing=X[/latex] — открытое множество и [latex]X\setminus X=\varnothing[/latex] — также открытое множество.
2. Обозначим через [latex]\left\{ F_{\alpha} \right\}[/latex] систему замкнутых множеств. Следовательно, с учетом того факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем [latex]\bigcap_{\alpha} F_{\alpha} = \bigcap_{\alpha}(X \setminus G_{\alpha}) = X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}[/latex], так как. объединение открытых множеств есть множество открытое, а его дополнение — замкнуто, то множество [latex]X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}[/latex] — замкнуто.
3. Аналогично попробуем найти объединение конечной системы замкнутых множеств: [latex]\bigcup_{n=1}^{k} F_{n} = \bigcup_{n=1}^{k}(X \setminus G_{n}) = X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}[/latex] , так как пересечение конечного числа открытых множеств [latex]G_k[/latex] будет открытым множество, то [latex]X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}[/latex] — замкнуто.

Вышеперечисленные свойства систем замкнутых множеств, однозначно их характеризуют, поэтому не исключается подход, при котором эти свойства принимаются за систему аксиом, определяющих топологическое пространства. Следовательно, имеет место следующая
Теорема. Если [latex]X[/latex] — произвольное множество и [latex]\lambda[/latex] семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:

1. [latex] X, \varnothing \in \lambda [/latex]
2. Пересечение множеств любой подсистемы в [latex]\lambda[/latex] принадлежит [latex]\lambda[/latex]
3. Объединение множеств любой конечной подсистемы в [latex]\lambda[/latex] принадлежит [latex]\lambda[/latex]

Предположим, что [latex]\upsilon[/latex] — семейство дополнений всех различных множеств из [latex]\lambda[/latex]. В таком случае [latex]\upsilon[/latex] будет топологией на [latex]X[/latex], а [latex]\lambda[/latex] — системой замкнутых множеств топологического пространства [latex](X,\upsilon)[/latex].

Литература:

• Александров А. Д., Нецветаев Н.Ю.; Геометрия: Учебное пособие — изд. «Наука», гл. ред. физ.-мат. лит., 1990 (с.474-478)
• В. Н. Худенко: учебно-методические комплексы Балтийского федерального университета им. И. Канта, «Топология», глава 3
• Конспект лекций З.М. Лысенко.

Свойства замкнутых множеств

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Свойства замкнутых множеств»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3

   Что из этого верно (ВНИМАНИЕ: возможны несколько правильных ответов)

   • Пересечение любого количества замкнутых множеств замкнуто.
   • Пересечение любого количества замкнутых множеств открыто.
   • Объединение конечного числа замкнутых множеств открыто.
   • Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3

   Топологическое пространство — это…?

   • Компакт
   • Шар
   • Множество
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4

   Заполните пропуски.

   • Топологическое пространство — (множество) с выделенной системой его подмножеств, называемых открытыми, удовлетворяющих определенным аксиомам. Систему выделенных подмножеств также называют (топологией), а соответствующие подмножества - (открытыми) в данной топологии.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Что определяют свойства системы замкнутых множеств как система аксиом?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   Заполните пропуск.

   • Дополнение к замкнутому множеству - (открытое) множество.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Открытые множества

Определение. Множество всех точек $x$пространства $\mathbb{R}^n$, таких, что $| x- x_0| < \rho, \rho > 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho$. Этот шар также называется $\rho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,\rho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $\mathbb{R}^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,\rho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $\varnothing$ открытым.

Свойства открытых множеств

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $\alpha \in A$ поставим в соответствие множество $E_{\alpha}$. Тогда $\left\{E_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $\mathbb{R}^n$ обладают такими свойствами:

1. Пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $\mathbb{R}^n$ открыты;
2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
3. Объединение всякого семейства $\left\{G_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

1. Пустое множество $\varnothing$ является открытым по определению, а пространство $\mathbb{R}^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $\mathbb{R}^n$.
2. Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E=\bigcap _{ i=1 }^{ n }{E}_{i} $. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x \in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,\rho_i) \subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,\rho)$, где $r=min(\rho_1,…,\rho_n)$. Тогда $E(x,\rho) \subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,\rho) \subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
3. Пусть $E=\bigcup_{\alpha \in A}E_{\alpha}$, где все множества $E_{\alpha}$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств ${E}_{{\alpha}_{0}}$. Так как это множество ${E}_{{\alpha}_{0}}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset {E}_{{\alpha}_{0}} \subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.$\square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac{1}{k}(k=1,2,…)$. Тогда $\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k = \left\{0\right\}$. Но множество $\left\{0\right\}$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.231-233)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 348-350)
• Конспект лекций  З.М. Лысенко

Открытые множества и их свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3

   
   Что из этого НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО является открытым множеством

   • пересечение бесконечного набора открытых множеств
   • объединение бесконечного набора открытых множеств
   • пустое множество
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3

   Как называется множество всех точек [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]|x| < \rho[/latex]

   • Закрытым шаром радиуса $$\rho $$ с центром в точке $$x_0 $$
   • Открытым шаром радиуса $$\rho $$ с центром в точке $$ 0 $$
   • Закрытым шаром радиуса $$ \rho $$ с центром в точке $$ 0 $$
   • Открытым шаром радиуса $$ \rho $$ с центром в точке $$ x_0 [$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Заполните пропуск

   • Точка &&x_0 \in E&& называется (внутренней точкой множества), если существует шар &&B(x_0,\rho)&&, содержащийся в нем.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Множество называется открытым, если…?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   шар [latex]B(x_0,r)[/latex] также называется…
   Правильно
   

   Неправильно
   

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек [latex]x[/latex]пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]| x- x_0| < rho, rho > 0[/latex], называется открытым шаром с центром в точке [latex]x_0[/latex] и радиусом [latex]rho[/latex]. Этот шар также называется [latex]rho[/latex]-окрестностью точки [latex]x_0[/latex] и обозначается [latex]B(x_0,rho)[/latex].

Определение. Зададим подмножество [latex]E[/latex] пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex]. Точка [latex]x_0[/latex] множества [latex]E[/latex] называется внутренней точкой множества, если существует [latex]B(x_0,rho)[/latex], содержащийся в [latex]E[/latex]. Иными словами, [latex]x_0[/latex] является внутренней точкой множества [latex]E[/latex], если она входит в [latex]E[/latex] вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество [latex]E subset mathbb{R}^n[/latex] называется открытым, если любая его точка будет внутренней в [latex]E[/latex]. Условимся также считать пустое множество [latex]varnothing[/latex] открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через [latex]A[/latex] множество индексов, и каждому элементу [latex]alpha in A[/latex] поставим в соответствие множество [latex]E_{alpha}[/latex]. Тогда [latex]left{E_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве [latex]mathbb{R}^n[/latex] обладают такими свойствами:

1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] и всё пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex] открыты;
2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
3. Объединение всякого семейства [latex]left{G_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] открытых множеств также открыто

Доказательство.

1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] является открытым по определению, а пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex], очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в [latex]mathbb{R}^n[/latex].
2. Пусть [latex]E_1,…,E_n[/latex] – открытые множества,[latex]E = bigcap_{i=1}^{n}[/latex]. Предположи, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x in E_i[/latex] для любого [latex]i=1,…,n[/latex]. Но все множества [latex]E_i[/latex] являются открытыми, так что для любого [latex]i=1,…,n[/latex] найдется открытый шар [latex]B(x,rho_i) subset E_i[/latex]. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом [latex]B(x,rho)[/latex], где [latex]r=min(rho_1,…,rho_n)[/latex]. Тогда [latex]E(x,rho) subset E_i[/latex] при каждом [latex]i=1,…,n[/latex], а значит, [latex]B(x,rho) subset E[/latex], и тем самым доказано, что множество [latex]E[/latex] открыто.
3. Пусть [latex]E=bigcup_{alpha in A}E_{alpha}[/latex], где все множества [latex]E_{alpha}[/latex] открыты. Докажем, что множество [latex]E[/latex] также открыто. Предположим, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x[/latex] принадлежит хотя бы одному из множеств [latex]E_{alpha_0}[/latex]. Так как это множество [latex]E_{alpha_0}[/latex] открыто, то найдется окрестность [latex]B(x,rho) subset E_{alpha_0} subset E[/latex]. Таким образом, [latex]E[/latex] – открытое множество.

[latex]square[/latex]

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть [latex]B_k[/latex] – открытый шар с центром в нуле и радиусом [latex]frac{1}{k}(k=1,2,…)[/latex]. Тогда [latex]bigcap_{k=1}^{infty}B_k = left{0right}[/latex]. Но множество [latex]left{0right}[/latex], состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.231-233)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 348-350)
• Конспект лекций  З.М. Лысенко

Открытые множества и их свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3

   
   Что из этого НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО является открытым множеством

   • пересечение бесконечного набора открытых множеств
   • объединение бесконечного набора открытых множеств
   • пустое множество
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3

   Как называется множество всех точек [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]|x| < \rho[/latex]

   • Закрытым шаром радиуса $$\rho $$ с центром в точке $$x_0 $$
   • Открытым шаром радиуса $$\rho $$ с центром в точке $$ 0 $$
   • Закрытым шаром радиуса $$ \rho $$ с центром в точке $$ 0 $$
   • Открытым шаром радиуса $$ \rho $$ с центром в точке $$ x_0 [$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Заполните пропуск

   • Точка &&x_0 \in E&& называется (внутренней точкой множества), если существует шар &&B(x_0,\rho)&&, содержащийся в нем.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Множество называется открытым, если…?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   шар [latex]B(x_0,r)[/latex] также называется…
   Правильно
   

   Неправильно