Свойство 2 (свойство монотонности интеграла)
Если $latex f,g \in R[a,b] (a
$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \int\limits_{a}^{b}g(x)dx$.
$latex \square$Пусть $latex \phi(x) \equiv f(x)-g(x)$, тогда $latex \phi \in R[a,b]$ и $latex \phi \geqslant 0$. По свойству интеграла от положительной функции
$latex \int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx \geqslant 0 $,
тогда получим что
$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \int\limits_{a}^{b}g(x)dx$.
Что и требовалось доказать.$latex \blacksquare$
Пример
Не вычисляя интегралов, определить какой из них больше $latex \int\limits_{3}^{4}\ln{x}dx$ или $latex \int\limits_{3}^{4}\ln^{2}{x}dx$
Заметим, что $latex \ln{x}\geqslant \ln{3}>\ln {e=1},\forall\;x\in[3,4]$ поэтому $latex \ln^{2}{x}>\ln{x},\;\forall\;x\in[3,4]$. Тогда, по свойству монотонности интеграла $latex \int\limits_{3}^{4}\ln{x}dx < \int\limits_{3}^{4}\ln^{2}{x}dx$.
Литература
- Лысенко З.М.. Конспект лекций по математическому анализу
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.:Наука, 1982, стр.333
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:Наука, 1969, стр.111-112