Двойственность открытых и замкнутых множеств

Пусть множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex]. Тогда множество всех точек [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], не принадлежащих множеству [latex]E[/latex], называется дополнением множества [latex]E[/latex] и обозначается [latex]cE[/latex] или [latex]E^c[/latex].

Теорема. Для того чтобы множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex] было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение [latex]G \equiv cF[/latex] было открытым. Доказательство.
Необходимость. Пусть [latex]E[/latex] замкнуто и [latex]x[/latex] – произвольная точка из [latex]G[/latex]. Докажем, что она будет внутренней в [latex]G[/latex]. Поскольку [latex]x \notin E[/latex], то она не будет предельной точкой для [latex]E[/latex] и найдется такая ее окрестность [latex]U_x[/latex], которая не содержит ни одной точки из [latex]E[/latex]. Следовательно, эта окрестность полностью содержится в [latex]G[/latex], так что [latex]x[/latex] – внутренняя точка множества [latex]G[/latex].
Достаточность. Предположим теперь, что [latex]G[/latex] – открыто. Докажем тогда, что [latex]E[/latex] замкнуто. Для этого достаточно показать, что любая точка [latex]x[/latex], которая не принадлежит [latex]E[/latex], не будет предельной для [latex]E[/latex]. Если [latex]x \notin E[/latex], то [latex]x \in G[/latex], а так как [latex]G[/latex] открыто, следовательно найдется окрестность [latex]U_x \subset G[/latex]. Она не будет содержать точек из [latex]E[/latex], так что [latex]x[/latex] не является предельной для [latex]E[/latex], ч. т. д.

Отношение двойственности. Пусть [latex] \left\{ E_{\alpha} \right\} [/latex] – произвольное семейство множеств. Тогда дополнение к объединению множеств [latex]E_{\alpha}[/latex] равно пересечению дополнений множеств [latex]E_{\alpha}[/latex], а дополнение к пересечению равно объединению дополнений, т. е. [latex]c(\bigcup E_{\alpha}) = \bigcap(cE_{\alpha}), c(\bigcap E_{\alpha}) = \bigcup(cE_{\alpha})[/latex].

Литература:

Открытые множества и их свойства

Открытые множества

Определение. Множество всех точек $x$пространства $\mathbb{R}^n$, таких, что $| x- x_0| < \rho, \rho > 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho$. Этот шар также называется $\rho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,\rho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $\mathbb{R}^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,\rho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $\varnothing$ открытым.

Свойства открытых множеств

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $\alpha \in A$ поставим в соответствие множество $E_{\alpha}$. Тогда $\left\{E_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $\mathbb{R}^n$ обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $\mathbb{R}^n$ открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства $\left\{G_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество $\varnothing$ является открытым по определению, а пространство $\mathbb{R}^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $\mathbb{R}^n$.
  2. Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E=\bigcap _{ i=1 }^{ n }{E}_{i} $. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x \in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,\rho_i) \subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,\rho)$, где $r=min(\rho_1,…,\rho_n)$. Тогда $E(x,\rho) \subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,\rho) \subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
  3. Пусть $E=\bigcup_{\alpha \in A}E_{\alpha}$, где все множества $E_{\alpha}$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств ${E}_{{\alpha}_{0}}$. Так как это множество ${E}_{{\alpha}_{0}}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset {E}_{{\alpha}_{0}} \subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.$\square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac{1}{k}(k=1,2,…)$. Тогда $\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k = \left\{0\right\}$. Но множество $\left\{0\right\}$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Открытые множества и их свойства

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек [latex]x[/latex]пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]| x- x_0| < rho, rho > 0[/latex], называется открытым шаром с центром в точке [latex]x_0[/latex] и радиусом [latex]rho[/latex]. Этот шар также называется [latex]rho[/latex]-окрестностью точки [latex]x_0[/latex] и обозначается [latex]B(x_0,rho)[/latex].

Определение. Зададим подмножество [latex]E[/latex] пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex]. Точка [latex]x_0[/latex] множества [latex]E[/latex] называется внутренней точкой множества, если существует [latex]B(x_0,rho)[/latex], содержащийся в [latex]E[/latex]. Иными словами, [latex]x_0[/latex] является внутренней точкой множества [latex]E[/latex], если она входит в [latex]E[/latex] вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество [latex]E subset mathbb{R}^n[/latex] называется открытым, если любая его точка будет внутренней в [latex]E[/latex]. Условимся также считать пустое множество [latex]varnothing[/latex] открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через [latex]A[/latex] множество индексов, и каждому элементу [latex]alpha in A[/latex] поставим в соответствие множество [latex]E_{alpha}[/latex]. Тогда [latex]left{E_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве [latex]mathbb{R}^n[/latex] обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] и всё пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex] открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства [latex]left{G_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] является открытым по определению, а пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex], очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в [latex]mathbb{R}^n[/latex].
  2. Пусть [latex]E_1,…,E_n[/latex] – открытые множества,[latex]E = bigcap_{i=1}^{n}[/latex]. Предположи, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x in E_i[/latex] для любого [latex]i=1,…,n[/latex]. Но все множества [latex]E_i[/latex] являются открытыми, так что для любого [latex]i=1,…,n[/latex] найдется открытый шар [latex]B(x,rho_i) subset E_i[/latex]. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом [latex]B(x,rho)[/latex], где [latex]r=min(rho_1,…,rho_n)[/latex]. Тогда [latex]E(x,rho) subset E_i[/latex] при каждом [latex]i=1,…,n[/latex], а значит, [latex]B(x,rho) subset E[/latex], и тем самым доказано, что множество [latex]E[/latex] открыто.
  3. Пусть [latex]E=bigcup_{alpha in A}E_{alpha}[/latex], где все множества [latex]E_{alpha}[/latex] открыты. Докажем, что множество [latex]E[/latex] также открыто. Предположим, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x[/latex] принадлежит хотя бы одному из множеств [latex]E_{alpha_0}[/latex]. Так как это множество [latex]E_{alpha_0}[/latex] открыто, то найдется окрестность [latex]B(x,rho) subset E_{alpha_0} subset E[/latex]. Таким образом, [latex]E[/latex] – открытое множество.

[latex]square[/latex]

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть [latex]B_k[/latex] – открытый шар с центром в нуле и радиусом [latex]frac{1}{k}(k=1,2,…)[/latex]. Тогда [latex]bigcap_{k=1}^{infty}B_k = left{0right}[/latex]. Но множество [latex]left{0right}[/latex], состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных