Операции на множествах. Свойства операций

Операции на множествах

1. Объединение

Объединение двух множеств:

Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B ,$ тогда их объединением называется множество $latex A\cup{} B, $ содержащее в себе все элементы
исходных множеств:

$latex A\cup B= \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\} $

Объединение более чем двух множеств:

Пусть дано семейство множеств $latex \left\{\,M_\alpha\,\right\},\,\alpha \in A, $ тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

$latex \bigcup_{\alpha\in A}^{}{} M_\alpha $ $latex = \left\{\,x\,|\,\exists \alpha\in A\, x\in M_\alpha \right\} $

Пересечение

Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B $, тогда их пересечением называется множество $latex A\cap{} B $, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:

$latex A\cap{} B = \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\} $

3.Разность

Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B $, тогда их разностью называется множество $latex A \setminus B $, содержащее в себе элементы $latex A $, но не  $latex B $ :

$latex A \setminus B = \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\} $

4.Симметрическая разность

Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B, $ тогда их симметрической разностью называется множество $latex A \Delta B $, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

$latex A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $

5.Дополнение

Пусть дано множество $latex A, $ его  дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:
$latex \overline A = \left\{\,x\,|\,x \not\in A \right\} $

 Свойства операций

Пусть $latex A, $ $latex B, $ $latex C $ — произвольные множества, тогда:

1. Операция объединение множеств коммутативна:

$latex A \cup B = B \cup A $

2. Операция объединение множеств ассоциативна:

$latex (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $

3. Операция пересечение множеств коммутативна:

$latex A \cap B = B \cap A $

4. Операция пересечения множеств ассоциативна:

$latex (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $

5. $latex (A \cup B) \cap C = (A \cap B) \cup (B \cap C) $

6. $latex (A \cap B) \cup C = (A \cup B) \cap (B \cup C) $

7. $latex C \setminus ( A \cap B) = ( C \setminus A) \cup ( C \setminus B) $

8.  $latex C \setminus ( A \cup B) = ( C \setminus A) \cap ( C \setminus B) $

9. $latex C \setminus B \setminus C = (A \cap B) \cup ( C \setminus B) $

10. $latex A \Delta B = ( A \cup B) \setminus ( A \cap B) $

11. Симметрическая разность коммутативна:

$latex A \Delta B = B \Delta A $

12. Симметрическая разность ассоциативна:

$latex ( A \Delta B) \Delta C = A \Delta ( B \Delta C) $

Примеры

1. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, $ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, $тогда

$latex A \cup B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \right\}.$

2. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} $, $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6 \right\}, $ тогда

$latex A \cap B = \left\{ 3, 4 \right\}. $

3. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, $ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, $ тогда

$latex A \setminus B = \left\{ 1, 2, 3 \right\}, $ $latex B \setminus A = \left\{ 5, 6, 7 \right\}. $

4.  Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}, $ $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6, 7 \right\}, $ тогда

$latex A \Delta B = \left\{ 1, 2, 6, 7 \right\}. $

Литература:

Операции на множествах. Свойства операций.

Тестовые вопросы по выше изложенному материалу