Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть [latex]X\neq \varnothing[/latex], [latex]\mathbb P[/latex] — поле. [latex]\left(X,\mathbb P \right)[/latex] называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На [latex]X[/latex] задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой [latex]\left(X,+ \right)[/latex] — абелева группа.
  2. Задано отображение: [latex]\bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X[/latex] такое, что:
    • [latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]x, \forall x\in X,[/latex]
    • [latex]\alpha \left(\beta x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha\beta \right)x,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x\in X,[/latex]\(\ \)[latex] \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.[/latex]
    • [latex]\alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha \in \mathbb P,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x_{1}, x_{2} \in X,[/latex]
    • [latex]\left(\alpha + \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \beta x,[/latex]\(\ \)[latex] \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, [/latex]\(\ \)[latex]\mathcal{8} x \in X.[/latex]

Элементы поля [latex]\mathbb P[/latex] называются скалярными, а множество [latex]X[/latex] называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. [latex]\alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha \cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \left(0 + 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]0 \cdot x=0, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 1.

    [свернуть]
  3. [latex]\left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(-\alpha \right)x + \alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right)[/latex]

    [свернуть]
  4. [latex]\left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 3.

    [свернуть]
  5. [latex]\left(\alpha — \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta x\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x[/latex]

    [свернуть]
  6. [latex]\alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 5.

    [свернуть]
  7. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Leftrightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex]0 \vee x=[/latex]\(\ \)[latex]0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow[/latex] Пусть [latex]\alpha \neq 0[/latex]
    [latex]x=[/latex]\(\ \)[latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]0[/latex]

    [свернуть]
  8. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=[/latex]\(\ \)[latex]y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \Rightarrow \alpha x — \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x — y=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x=y[/latex]

    [свернуть]
  9. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex] \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 8.

    [свернуть]

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, [latex]V_{1}, V_{2}, V_{3}[/latex]
  2. [latex]\left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)[/latex]
  3. [latex]\left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right][/latex]
  4. [latex]\left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}[/latex]
  5. [latex]\left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R[/latex]
  6. [latex]\left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P[/latex]

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных