M1412. Сумма дробей

Условие

Натуральные числа [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] таковы, что сумма дробей [latex]\frac { { x }^{ 2 }-1 }{ y\quad+\quad 1 } +\frac { { y }^{ 2 }-1 }{ x\quad+\quad 1 }[/latex] — целое число. Докажите, что каждая из дробей — целое число.

Решение:

Пусть [latex]u[/latex] — первая, [latex]v[/latex] — вторая из этих дробей. Их сумма и произведение — целые числа, поэтому [latex]u[/latex] и [latex]v[/latex] корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами, скажем, [latex]{ z }^{ 2 } + m \cdot z + n = 0[/latex]. Так как [latex]u[/latex] и [latex]v[/latex] — рациональные корни, то дискриминант [latex]{ m }^{ 2 }-4\cdot n[/latex] этого уравнения — рациональное число и, более того, целое, причем той же четности, что и [latex]m[/latex].
Формулы Виета
Но тогда [latex]u[/latex] и [latex]v[/latex] — тоже целые, ведь [latex]u[/latex], [latex]v[/latex] = [latex]\frac { -m+-\sqrt { { m }^{ 2 }-4\cdot n } }{ 2 }[/latex], а в числителе под корнем стоит четное число. Существует также много решений этой задачи, связанных с рассмотрением общих делителей чисел [latex]x + 1[/latex] и [latex]y + 1[/latex].

А.Перлин