Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства [latex]\mathbb{R}^n[/latex] можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество [latex]F \subset \mathbb{R}^n[/latex] имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество [latex]F[/latex] является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку [latex]F[/latex] еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, [latex]F[/latex] компактно. Для каждой точки [latex]x \in F[/latex] построим такую окрестность [latex]U_x[/latex], в которой нет других точек из [latex]F[/latex], кроме [latex]x[/latex] (если бы для какой-то точки [latex]x[/latex] такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для [latex]F[/latex]). Тогда семейство [latex]\left\{U_x \right\}_{x \in F}[/latex] образует открытое покрытие компактного множества [latex]F[/latex]. Пользуясь компактностью [latex]F[/latex], выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества [latex]E[/latex]. Но это противоречит тому, что множество [latex]E[/latex] бесконечно.[latex]\square[/latex]
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству [latex]E[/latex].

Литература:

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность .

Доказательство:

$latex \square $
Предположим, что $latex \{x_n\}$- ограниченна, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку $latex [a;b] $.
Разделим $latex [a;b] $ пополам. Мы получим два отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное число членов последовательности. Выберем этот отрезок. Если оба обладают этим свойством, то выберем первый. Выбранный отрезок, который содержит бесконечное число членов данной последовательности, обозначим $latex \Delta _1=[a_1;b_1]$ и его длина равна $latex b_1-a_1=\frac{b-a}{2}$. Разделим отрезок $latex \Delta _1$ пополам, выберем из двух получившихся отрезков $latex \Delta _2=[a_2;b_2]$ длина которого $latex b_2-a_2=\frac{b-a}{2^2}$
Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность отрезков $latex \{\Delta _n=[a_n;b_n]\}$ таких, что:

  1. $latex \Delta_1\supset\Delta_2\supset… \Delta_n\supset\Delta_{n+1}\supset… $
  2. $latex \lim_{k\to\infty}\frac{b-a}{2^k}=0 $

Следовательно, по определению, наша последовательность $latex \{\Delta_n\} $ стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть:
$latex \exists c:\forall k\in\mathbb{N}\ \ c\in\Delta_k $ (1)
Покажем, что $latex \exists \{x_{n_{k}}\}\rightarrow c $
Так как отрезок $latex \Delta_1$ содержит бесконечное число членов последовательности $latex \{x_n\}$, то $latex \exists n_1\in\mathbb{N}:x_{n_{1}}\in\Delta_1$.
Отрезок $latex \Delta_2$ также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому:
$latex \exists n_2>n_1:x_{n_{2}}\in\Delta_2$
Вообще, $latex \forall k\in\mathbb{N}\ \exists n_k: x_{n_{k}}\in\Delta_k$, где $latex n_1<n_2<…<n_{k-1}<n_k$
Следовательно, существует подпоследовательность $latex \{x_{n_{k}}\}$ последовательности $latex \{x_n\}$
такая, что $latex \forall k\in\mathbb{N}\ a_k\leq x_{n_{k}}\leq b_k$ (2)
Условия (1) и (2) означают, что точка С и $latex \{x_{n_{k}}\}$ принадлежат отрезку $latex \Delta_k=[a_k;b_k]$, и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка $latex \Delta_k$ то есть:
$latex \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq \Bigl|C-x_{n_k}\Bigl|\leq b_k-a_k=\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{\frac{b-a}{2^k}}}}$ при $latex k\to\infty $ По теореме о трех последовательностях
$latex \lim_{k\to\infty}|C-{x_{n_{k}}}|=0 \Rightarrow \lim_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=c $
Теорема доказана $latex \blacksquare $

Замечание

Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать еще и так:
любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Интересно знать:

  • Метод, примененный в доказательстве данной теоремы ,который  состоит в последовательном делении пополам рассматриваемых промежутков, называется методом Больцано, он часто используется при доказательстве других теорем.
  • Теорему о трех последовательностях называют также теорема о двух милиционерах. Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти. В разных странах её называют по-разному: теорема сжатия, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

Пример

Показать, что всякая неограниченная сверху последовательность имеет частичный предел, равный $latex +\infty$

Спойлер

Покажем, что если последовательность $latex \{x_n\}$ не ограничена сверху, то из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к $latex +\infty$.
Сначала выберем число $latex \{x_{n_{1}}\}$, такое, что $latex \{x_{n_{1}}\}>1$.
Затем, пользуясь неограниченностью сверху, находим такой номер $latex n_2>n_1$, что для $latex \{x_{n_{2}}\}$ выполняется неравенство $latex \{x_{n_{2}}\}>2$   и так далее.
В результате получим $latex \lim_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=+\infty$
Аналогично доказывается тот факт, что всякая неограниченная снизу последовательность имеет частичный предел, равный $latex -\infty$

[свернуть]

Литература:

Тест

Тест на проверку знаний по теме: «Теорема Больцано-Вейерштрасса»