Определение. Для ограниченной на отрезке функции число[latex]\omega = \sup \left| {\varphi \left( {x’} \right) — \varphi \left( {x»} \right)} \right|,[/latex] где , называется колебанием функции на . Обозначим
$$M = {\sup _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right)$$ $$m = {\inf _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right).$$ Тогда, как легко видеть, . Пусть теперь ограниченная функция задана на отрезке . Тогда для произвольного разбиения колебание на равно . Поэтому
[latex]{\overline S _\Pi } — {\underline S _\Pi } = \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {\left( {{M_i} — {m_i}} \right)\Delta {x_i} = \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i}} } [/latex].
Таким образом, равносильная формулировка критерия интегрируемости примет следующий вид.
Теорема (критерий интегрируемости в терминах колебаний). Для того чтобы ограниченная функция была интегрируемой по Риману на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство
[latex]\mathop {\lim }\limits_{d(\Pi ) \to 0} \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} = 0} [/latex],
где – колебание функции на отрезке .
Литература
- В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 85]