Метка: Теорема Кантора

Теорема Кантора

Если функция $ f $ определена и непрерывна на сегменте $ [a,b] $, то она равномерно непрерывна на $ [a,b] $.

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть $ f $ не равномерно непрерывна на $ [a,b] $, тогда

$ \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 $ $ \exists~ x’,~x»~ \epsilon~[a,b] $, $ |x’-x»| < \delta $ : $ |f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon $.

Выберем последовательность $ \delta_n = \frac{1}{n} $, $ n = \overline{1,+\infty} $. Согласно допущению, найдутся такие последовательности $ \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $, $ \left\{x»_n \right\}_{n=1}^\infty $, что:

$ x’_n,~x»_n~\epsilon~[a,b] $, $ |x’_n-x»_n|<\delta_n = \frac{1}{n} $ : $ |x’-x»| < \delta $ : $ |f(x’_n) — f(x»_n)| \geq \varepsilon $.

Последовательность $ \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $ ограничена и поэтому имеет подпоследовательность $ \left\{x’_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty $, которая сходится к элементу $ x_0 $, причем что $ x_0~\epsilon~[a,b] $. Тогда для подпоследовательности $ \left\{x»_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty $ $ x_0~\epsilon~[a,b] $ так же является пределом.

По условию теоремы $ f $ — непрерывна на $ [a,b] $, поэтому

$ \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x’_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x»_{n_{i}}) $.

Это противоречит тому, что $ |f(x’_{n_{i}}-f(x»_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 $, $ \forall i = \overline{1,+\infty}$.

Это противоречие и доказывает теорему.

$ \blacksquare $

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция $ f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}} $ не является равномерно непрерывной на $ (0,1) $.

$ f(x) $ — ограничена и непрерывна. Тогда $ \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 $ $ \exists~ x’,~x»~ \epsilon~(0,1) $ $ |x’-x»| < \delta $: $ |f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon $. Выберем такие подпоследовательности $ x’_n = \frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1} $.

$ |f(x’) — f(x»)| $ $ = $ $ |\sin{\pi n} — \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1 $.
$ |x’ — x»| = |\frac{1}{n} — \frac{2}{2n-1} $ $ = $ $ |\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}| $ $ = $ $ \frac{1}{n(2n-1)} $ $ \rightarrow 0 $.

$ \exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta $ можно выделить такие подпоследовательности $ x’_n=\frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1} $ $ |x’_n-x»_n| < \frac{1}{n} $.

$ n > \frac{1}{\delta} $: $ |f(x’_n)-f(x»_n)| = 1 \geq \varepsilon $. Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на $ (0,1) $.

[свернуть]

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

Определение

Функция $f$ определенна на множестве $X\subset R^{n}$ называется равномерно непрерывной на $X,$ если $\forall\varepsilon > 0,$ $\exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0,$ что для любых двух точек $x, y \in X,$ удовлетворяющих условию $\rho(x, y) < \delta,$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Теорема Кантора

Если функция $f$ определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.

Спойлер

Пусть функция $f$ определена и непрерывна на компактном множестве $M\subset R^{n}$.

$\forall x_{0} \in M,$ $\forall \varepsilon’ > 0,$ $\exists \delta’ = \delta'(x_{0}, \varepsilon’)>0$

такое, что если $x\in M,$ то$\rho(x_{0}, x)<\delta’,$ то $|f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon’$. Выберем произвольное $\varepsilon>0$ и положим $\varepsilon’=\frac{\varepsilon}{2}$. Построим для каждой точки $x_{0}\in M$ окрестность

$U(x_{0}, \frac{\delta’}{2})=$ $U(x_{0}, \frac{\delta'(x_{0}, \varepsilon’)}{2})$

Объединение таких окрестностей покрывает множество $K$. Поскольку $K$ — компактное множества, то из построенного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m}$ такое, что

$K \subset \underset{k=1}{\overset{m}{\bigcup}}U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})$.

Положим $\delta= min(\frac{\delta’_{1}}{2}, … , \frac{\delta’_{m}}{2})$. Возьмем произвольные точки $x, y \in M,$ для которых $\rho<\delta$. Поскольку $M$ покрывается системой $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m},$ то найдется такой номер $k_{0},$ что $x\in U(x_{k_{0}}, \frac{\delta’_{k_{0}}}{2})$. Тогда $\rho(x_{k_{0}}, x)< \frac{\delta’_{k_{0}}}{2}$ и $\rho(x_{k_{0}}, y) \le$ $\rho(x_{k_{0}}, x) + $ $\rho(x_{k_{0}}, y)<$ $\frac{\delta’_{k_{0}}}{2}+\delta<$ $\delta’_{k_{0}}$. Следовательно

$|f(x)-f(y)|\le$ $|f(x)-f(x_{k_{0}})| + $ $|f(x_{k_{0}})-f(y)|<$ $\varepsilon’+ \varepsilon’ =$ $\varepsilon$

[свернуть]

Тест

Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»

Таблица лучших: Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г.М. Фихтенгольц  Курс дифференциального интегрального исчисления т.1 (стр. 370-371)

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 11-12).

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках



Формулировка

Пусть дана система вложенных сегментов $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$$latex (I_{1}\supset I_{2}\supset… ), $$latex \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2… $ , тогда $latex \exists \ c \in \mathbb{R} : \forall \ n \in \mathbb{N}, c\in I_{n} $, то есть $latex c\in \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} $. Причём, если $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то такая точка одна.


Стягивающаяся последовательность

Доказательство

Существование:

Рассмотрим множества верхних и нижних граней отрезков (сегментов) $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$ $latex A=\left \{ a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty},B=\left \{ b_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} $. Возьмём два числа $latex n,m\in \mathbb{N} $:

  1. $latex n=m\Rightarrow a_{n}<b_{m} $ (по определению сегмента);
  2. $latex n
  3. $latex n>m \Rightarrow a_{n}\leq b_{n}\leq …\leq b_{m+1}\leq b_{m} $

Таким образом $latex \forall a_{n}\in A,b_{m}\in B:a_{n}\leq b_{m} $. Тогда по аксиоме непрерывности: $latex \exists \ c, \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m}\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \ c\in I_{n} $.

Единственность:

Предположим противное,пусть существуют две различные точки $latex {c},{c}’ $, принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ то есть:

$latex \forall n\in \mathbb{N} \ \exists \ c,c’\in I_{n} $ . Так, как $latex c\neq {c}’$, то либо $latex c<{c}’ $ либо $latex c>{c}’ $.

Не ограничивая общности, предположим, что $latex c<{c}’ $.

Тогда мы имеем: $latex \forall \ n\in \mathbb{N} \ a_{n}\leq c<c’\leq b_{n} $. То есть $latex 0<c-{c}'<b_n-a_n$. Так, как$latex \underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0\Rightarrow 0 \leq {c}’-c\leq 0\Rightarrow $$latex {c}’-c=0\Rightarrow c={c}’ $.

Противоречие! Следовательно, наше предположение, что существуют две различные точки $latex {c},{c}’ $, принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ неверно, значит $latex \exists ! \ c \in I_{n} \forall n\in \mathbb{N}.$

Замечание:

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы.

В самом деле,легко видеть,что последовательность вложенных друг в друга интервалов $latex (0,\frac{1}{n})$ не имеет общих точек,поскольку $latex \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing $

Пример:

  1. Доказать, что если система вложенных сегментов $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$$latex (I_{1}\supset I_{2}\supset… ), $$latex \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2…\ ,$ причём $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то последовательности $latex \left \{ {a_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ и $latex \left \{ {b_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ (последовательности верхних и нижних граней сегментов) сходящиеся, причём $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.

    Спойлер

    Исходя из доказательства теоремы Коши-кантора, а именно из того, что $latex \exists ! \ c \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m} $, следовательно $latex c=\sup \{a_n\}=\inf \{b_n\}$ по определению точных верхней и нижней грани. Вычтем $latex a_n$ из неравенства, и по теореме о трех последовательностях получим: $latex \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq c-a _{n} \leq \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{b_n-a_n}}}$, следовательно, по теореме о сходящейся последовательности, имеем $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=c$. Доказательство для последовательности $latex \left \{ b_{n} \right \} _{n=1}^{\infty}$ проводится аналогично.

    Доказано, что обе последовательности сходящиеся и выполняется следующие равенство: $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.

    [свернуть]

  2. Доказать, что теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках не выполняется на множестве $latex \mathbb{Q}$.

    Спойлер

    Возьмём множество рациональных чисел $latex \mathbb{Q}$, как известно, $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}$. Рассмотрим последовательность отрезков: $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} = $$latex \left \{ \right. \left [ 1;2 \right ],\left [ 1.7;1.8 \right ],\left [ 1.73;1.74 \right ],… \left. \right \},$ построим её так, чтобы концы этих отрезков были десятичные приближения иррационального числа $latex \sqrt{3}$ с недостатком в нижней границе и избытком в верхней границе, с разностью $latex 1/10^n,\ n \in \mathbb{N} .$ По предыдущей теореме мы знаем, что $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c$ (пределы нижних и верхних границ совпадают с единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам). Также ясно, что пределы наших верхних и нижних границ стремятся к $latex \sqrt{3},$ однако $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}.$ Доказано, что на множестве, которое не является полным, теорема Коши-Кантора не выполняется.

    [свернуть]

Литература:

  1. Вартанян Г. М. Математический анализ (стр. 10-15, 9)
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.1.-Одесса: Астропринт, 2009 (стр 20-21, 28-29)
  3. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.54 )

Тест

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках.


Таблица лучших: Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных