Метка: теория

Таблица Кэли

Пусть $\mathbb A_{n}=\left \{ a_{1},a_{2},…,a_{n}\right \}$ — конечное множество из $n$ элементов, с заданной на нем бинарной алгебраической операцией $*$ так, что каждой паре элементов из этого множества будет поставлен в соответствие элемент из того же множества.
Тогда таблица Кэли (была введена А.Кэли в 1854) будет выглядеть следующим образом:

$\begin{matrix} * & {\textit a_{1}} & {\textit a_{2}} & {\ldots} & {\textit a_{n}} \\ {\textit a_{1}} & a_{1}*a_{1} & a_{1}*a_{2} & \ldots & a_{1}*a_{n} \\ {\textit a_{2}} & a_{2}*a_{1} & a_{2}*a_{2} & \ldots & a_{2}*a_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ {\textit a_{n}} & a_{n}*a_{1} & a_{n}*a_{2} & \ldots & a_{n}*a_{n} \\ \end{matrix}$

Таблица Кэли позволяет определить свойства операции:

Замечание. Также существует метод проверки ассоциативности БАО по таблице Кэли, но так как он очень громоздкий приводить мы его не будем.

Пример 1

Дано множество $\mathbb A=\left \{1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}.$ На этом множестве задана операция $*$ такая, что $ \forall \, a,b \in \mathbb A, a*b=\max(a,b).$ Построить таблицу Кэли и определить свойства операции:

Спойлер

Построим таблицу Кэли:

$\begin{matrix} * & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 7 & 8\\ 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 8 \\ 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 \\ \end{matrix}$

  • Таблица симметрична относительно главной диагонали, значит операция $*$ — коммутативна.
  • Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит 1 — нейтральный элемент.
  • Симметричный элемент существует только для 1.
  • Можем сделать вывод, что $\left (\mathbb A,* \right )$ не является группой.

[свернуть]

Пример 2

Дано множество преобразований правильного треугольника $\mathbb B=\left \{\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5} \right \},$ переводящих треугольник в самого себя.
$\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2}$ — повороты треугольника против часовой стрелки соответственно на углы $0, \frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$ вокруг точки $O.$
$\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5}$ — симметрия относительно осей $m, l, p$
simtriangle
Построить таблицу Кэли и показать, что $\left (\mathbb B,\circ \right )$ — группа:

Спойлер

Каждое преобразование представим в виде подстановки:

$\varphi _{0}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ A & B & C\end{pmatrix}$ $\varphi _{1}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ B & C & A\end{pmatrix}$ $\varphi _{2}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ C & A & B\end{pmatrix}$ $\varphi _{3}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ B & A & C\end{pmatrix}$ $\varphi _{4}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ C & B & A\end{pmatrix} $ $\varphi _{5}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ A & C & B\end{pmatrix}$

Составим таблицу Кэли:

$\begin{matrix} {\circ} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{3} & \varphi _{4} & \varphi _{5} \\ \varphi _{0} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{3} & \varphi _{4} & \varphi _{5} \\ \varphi _{1} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{0} & \varphi _{4} & \varphi _{5} & \varphi _{3} \\ \varphi _{2} & \varphi _{2} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{5} & \varphi _{3} & \varphi _{4}\\ \varphi _{3} & \varphi _{3} & \varphi _{5} & \varphi _{4} & \varphi _{0} & \varphi _{2} & \varphi _{1}\\ \varphi _{4} & \varphi _{4} & \varphi _{3} & \varphi _{5} & \varphi _{1} & \varphi _{0} & \varphi _{2} \\ \varphi _{5} & \varphi _{5} & \varphi _{4} & \varphi _{3} & \varphi _{2} & \varphi _{1} & \varphi _{0} \\ \end{matrix}$

  • Таблица несимметрична относительно главной диагонали, значит операция композиции подстановок — некоммутативна.
  • Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит $\varphi _{0}$- нейтральный элемент.
  • Каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, значит для каждого элемента из множества существует симметричный.
  • Композиция подстановок — ассоциативна.
  • Следовательно, $\left (\mathbb B,\circ \right )$ является группой.

[свернуть]

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., Наука, 1977 г, с.166, 167
  3. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, Физматлит, 1967 г, с.113

Тест


Таблица лучших: Таблица Кэли

максимум из 19 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть [latex]X\neq \varnothing[/latex], [latex]\mathbb P[/latex] — поле. [latex]\left(X,\mathbb P \right)[/latex] называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На [latex]X[/latex] задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой [latex]\left(X,+ \right)[/latex] — абелева группа.
  2. Задано отображение: [latex]\bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X[/latex] такое, что:
    • [latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]x, \forall x\in X,[/latex]
    • [latex]\alpha \left(\beta x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha\beta \right)x,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x\in X,[/latex]\(\ \)[latex] \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.[/latex]
    • [latex]\alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha \in \mathbb P,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x_{1}, x_{2} \in X,[/latex]
    • [latex]\left(\alpha + \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \beta x,[/latex]\(\ \)[latex] \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, [/latex]\(\ \)[latex]\mathcal{8} x \in X.[/latex]

Элементы поля [latex]\mathbb P[/latex] называются скалярными, а множество [latex]X[/latex] называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. [latex]\alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha \cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \left(0 + 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]0 \cdot x=0, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 1.

    [свернуть]
  3. [latex]\left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(-\alpha \right)x + \alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right)[/latex]

    [свернуть]
  4. [latex]\left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 3.

    [свернуть]
  5. [latex]\left(\alpha — \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta x\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x[/latex]

    [свернуть]
  6. [latex]\alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 5.

    [свернуть]
  7. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Leftrightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex]0 \vee x=[/latex]\(\ \)[latex]0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow[/latex] Пусть [latex]\alpha \neq 0[/latex]
    [latex]x=[/latex]\(\ \)[latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]0[/latex]

    [свернуть]
  8. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=[/latex]\(\ \)[latex]y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \Rightarrow \alpha x — \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x — y=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x=y[/latex]

    [свернуть]
  9. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex] \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 8.

    [свернуть]

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, [latex]V_{1}, V_{2}, V_{3}[/latex]
  2. [latex]\left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)[/latex]
  3. [latex]\left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right][/latex]
  4. [latex]\left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}[/latex]
  5. [latex]\left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R[/latex]
  6. [latex]\left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P[/latex]

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Порядок группы

Порядок группы

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — группа, если [latex]G[/latex] — конечное множество, то порядком группы называется число элементов [latex]G[/latex] и обозначается [latex]\left|G \right|[/latex] или [latex]\mathrm{card}[/latex] [latex]G[/latex]. Если [latex]G[/latex] — бесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — произвольная группа и [latex]a[/latex] — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

  1. Все степени элемента [latex]a[/latex] различны, то есть [latex]m\neq n[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]a^{m} \neq a^{n}[/latex]. В этом случае говорят, что элемент [latex]a\in G[/latex] имеет бесконечный порядок.
  2. Имеются совпадения [latex]a^{m}=a^{n}[/latex] при [latex]m\neq n[/latex]. Если, например, [latex]m>n[/latex], то [latex]a^{m-n}=e[/latex], то есть существуют положительные степени элемента [latex]a\in G[/latex], равные единичному элементу. Пусть [latex]q\ -[/latex] наименьший положительный показатель, для которого [latex]a^{q}=e.[/latex] Тогда говорят, что [latex]a[/latex] — элемент конечного порядка [latex]q[/latex].

В конечной группе [latex]\left(G,*\right)[/latex] все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если [latex]\left(G,*\right)[/latex] — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы [latex]\left(G,*\right)[/latex] делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Спойлер

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — конечная группа порядка [latex]m[/latex] и [latex]a[/latex] — некоторый ее элемент порядка [latex]k[/latex]. Тогда [latex]m=kl[/latex] (при целом [latex]l[/latex]) и [latex]a^{m}=(a^{k})^{l}=e[/latex]. Следовательно, верно следующее предположение:
Любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единичный элемент.
Следовательно, порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.
[latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

Примеры:

  1. Пусть [latex]\left(G,+ \right)[/latex] — группа, где [latex]G=\left\{1,2,3,4 \right\}[/latex]. Найти порядок группы.
    Ответ: [latex]\left|G \right|=4[/latex]
  2. Пусть [latex]\left(G,* \right)[/latex] — группа, где [latex]G=\mathbb N[/latex]. Найти порядок группы.
    Ответ: [latex]\left|G \right|=\infty[/latex]

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143

Порядок группы

Тест для проверки знаний по теме «Порядок группы»

Таблица лучших: Порядок группы

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных