Метка: угол между векторами

Угол между двумя векторами

В трехмерной системе координат зададим две точки $B_1$ и $B_2.$ Рассмотрим вектора $\overline{OB_1}\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $\overline{OB_2}\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ где точка $O$ — начало координат.

Определение. Углом между двумя векторами называется наименьший угол, при повороте на который направление одного вектора совпадает с направлением второго.

Для нахождения угла между векторами $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2}$ воспользуемся материалом первой статьи. Пусть точки $B_1$ и $B_2$ определяют вектор $\overline{B_1B_2}.$ Тогда $\overline{B_1B_2}$ представим в виде разности векторов $\overline{OB_2}$ и $\overline{OB_1}:$

Из рисунка видно, что искомый угол $B_1OB_2$ можно найти с помощью теоремы косинусов: $$\left|\overline{OB_2}-\overline{OB_1}\right|^2 = \left|\overline{OB_1}\right|^2 + \left|\overline{OB_2}\right|^2-2\cdot\left|\overline{OB_1}\right|\cdot\left|\overline{OB_2}\right|\cdot\cos \left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$

Теперь необходимо найти длины векторов. Опираясь на материал третьей статьи, имеем: $$\left|\overline{OB_1}\right| = \sqrt{\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2},$$ $$\left|\overline{OB_2}\right| = \sqrt{\alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2}.$$ Подставим результат в формулу: $$\left(\alpha_2-\alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2-\beta_1\right)^2 + \left(\gamma_2-\gamma_1\right)^2 = \alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2 + \\ + \alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2-2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right),$$ и упростим выражение: $$-2\left(\alpha_2\alpha_1 + \beta_2\beta_1 + \gamma_2\gamma_1\right) = -2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$ Откуда:$$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2 + \gamma_1\gamma_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}}.$$ В случае двумерного пространства формула примет следующий вид: $$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2}}.$$

Пример

Даны произвольные точки $A\left(-2, 3, 5\right),$ $B\left(6, 4, -3\right)$ и $C\left(5, -4, -1\right).$ Найти угол между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{AC}.$

Решение

Вычислим координаты векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}:$ $$\overline{AB} = \left(6+2, 4-3, -3-5\right) = \left(8, 1, -8\right),$$ $$\overline{AC} = \left(5+2, -4-3, -1-5\right) = \left(7, -7, -6\right).$$Теперь вычислим их длины: $$\left|\overline{AB}\right| = \sqrt{64+1+64} = \sqrt{129},$$ $$\left|\overline{AC}\right| = \sqrt{49+49+36} = \sqrt{134}.$$ И найдем скалярное произведение: $$\left(\overline{AB}, \overline{AC}\right) = 56-7+48 = 97.$$ Обозначим за $\phi$ угол между векторами. Тогда: $$\cos\phi = \frac{97}{\sqrt{17286}}.$$ Откуда: $$\phi = \arccos\left(\frac{97}{\sqrt{17286}}\right).$$

[свернуть]

Смотрите также

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, $§$ 25, «Некоторые задачи» (стр. 81-82)
  2. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986, Глава 6, $§$ 5 «Косинус угла между двумя векторами» (стр. 131-135)
  3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, Глава 7, $§$ 46 «Направляющие косинусы» (стр. 133)

Измерения в евклидовом пространстве

1. Определить скалярное произведение векторов $latex X, Y$

$latex X=(2, 1, -1, 2)$, $latex Y=(3, -1, -2, 1)$.

Нам известна теорема о том, что если два вектора $latex a,b$ заданы своими декартовыми прямоугольными координатами, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат.
Воспользуемся ей. Получим:

$latex (X,Y)=2\cdot 3 + 1\cdot (-1) + (-1)\cdot (-2) + 2\cdot 1 =9$

Ответ: 9.

2. Нормировать вектор $latex X=(1,3,0,-2)$

Для того, чтобы нормировать вектор нам необходимо найти его модуль, и каждую координату разделить на него.

$latex |X|= \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$

$latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$

Ответ: $latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$.

3. Определить угол между векторами $latex X, Y$

$latex X= (1, 2, 2, 3)$, $latex Y= (3, 1, 5, 1).$

Нам известно, что по определению скалярного произведения $latex (a,b)= |a|\cdot |b| \cos\angle (a,b)\Rightarrow \cos\angle (a,b)= \frac{(a,b)}{|a|\cdot |b|}$

Воспользовавшись тем, что $latex |a|=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+…+x_{n}^2}$, а также предыдущей формулой и метод нахождения скалярного произведения из первой задачи, получаем:

$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{1\cdot 3 +2\cdot 1 + 2\cdot 5 + 3\cdot 1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2+3^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2+5^2+1^2}}$

$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{18}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{36}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Ответ: угол между векторами $latex X,Y $ равен $latex 45^\circ$.

4.Определить косинусы внутренних углов треугольника $latex ABC$, заданного координатами  вершин:

$latex A=(1,2,1,2)$, $latex B=(3,1,-1,0)$, $latex C=(1,1,0,1)$

Для того, что найти соответствующие углы необходимо найти координаты векторов, являющихся сторонами данных углов.
Найдем их.

$latex AB= (3-1,1-2,-1-1,0-2)= (2,-1,-2,-2)$

$latex |AB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}= \sqrt{13}$

$latex CB= (3-1,1-1,-1-0,0-1)= (2,0,-1,-1)$

$latex |CB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{6}$

$latex AC= (1-1,1-2,0-1,1-2)= (0,-1,-1,-1)$

$latex |AC|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{3}$

Воспользовавшись методом решения третей  задачи, найдем косинусы углов $latex A, B, C$.

$latex \cos\angle A= \frac{(-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+(-1)\cdot (-2)}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{13}}= \frac{5}{\sqrt{39}}$

$latex \cos\angle B= \frac{2\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+(-2)\cdot (-1)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{6}}= \frac{8}{\sqrt{78}}$

$latex \cos\angle C= \frac{1\cdot (-1) + 1\cdot (-1)}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}= -\frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $latex \cos\angle A= \frac{5}{\sqrt{39}}$, $latex \cos\angle B= \frac{8}{\sqrt{78}}$,  $latex \cos\angle C= -\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Литература:

Тест