В одномерном случае формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа содержится в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция $\gamma$ на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$ имеет непрерывные производные до порядка $q$ включительно, а на интервале $\left(\alpha,\beta\right)$ существует производная порядка $q+1$. Тогда справедливо равенство $$\begin{equation}\gamma\left(\beta\right) — \gamma\left(\alpha\right) =\end{equation}$$
$$\frac{\gamma \prime\left(\alpha\right)}{1\,!}\cdot(\beta-\alpha) + \frac{\gamma\prime\prime\left(\alpha\right)}{2\,!}\cdot(\beta-\alpha)^{2} + + \frac{\gamma^{(q)}\left(\alpha\right)}{q\,!}\cdot(\beta-\alpha)^{q} + \frac{\gamma^{(q+1)}\left(\xi\right)}{q+1\,!}\cdot(\beta-\alpha)^{q+1},$$
где $\xi$ — некоторая точка из интервала $\left(\alpha;\beta\right)$.
Аналог этой теоремы в многомерном случае может иметь следующий вид.
Теорема. Пусть действительная функция $f$ класса $C^{q+1}$ на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n} $ и пусть отрезок $\left[a,a+h\right] \subset E$. Тогда справедливо равенство: $$\begin{equation}f\left(a+h\right)-f\left(a\right)=\end{equation}$$
$$= \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}(a)h^{i}+\frac{1}{2\,!}\sum_{i,j = 1}^{n}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i} x^{j}}(a)h^{i}h^{j}+\cdots +$$
$$+\frac{1}{q\,!}\sum_{i_{1},\cdots,i_{q}=1}^{n} \frac{\partial^{q} f}{\partial x^{i_{1}}\cdots\partial x^{i_{q}}}(a)h^{i_1}\cdots h^{i_q}+R_{q},$$
где $$R_{q} = \frac{1}{q+1\,!}\sum_{i_{1},\cdots ,i_{q+1}=1}^{n} \frac{\partial^{q+1} f}{\partial x^{i_{1}}\cdots \partial x^{i_{q+1}}}(a+\theta h)h^{i_1}\cdots h^{i_{q+1}},$$
а $\theta$ — некоторое число из отрезка $\left[0,1\right].$
Положим $\gamma(t) = f\left(a+th\right) \left(0\leqslant t\leqslant1\right).$ Ранее была доказана лемма(12.4 стр.283), согласно которой функция $\gamma$ дифференцируема и её производная
$$
\gamma\prime(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}(a+th)h^{i}, \left(0\leqslant t\leqslant1\right).
$$
Снова применяя эту лемму получим
$$
\gamma\prime\prime(t)=\sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i} \partial x^{j}}(a+th)h^{i}h^{j}.
$$
По индукции получаем
$$\gamma^{p}(t)=\sum_{i,\cdots,i_{p} = 1}^{n} \frac{\partial^{p} f}{\partial x^{i_{1}}\cdots\partial x^{i_{p}}}(a+th)h^{i_{1}}\cdots h^{i_{p}}, \left(0 \leqslant p \leqslant q+1 \right)$$
Применяя теперь формулу Тейлора для функции $\gamma$, находим
$$\gamma(1)-\gamma(0) = \gamma\prime(0)+\frac{1}{2\,!}\gamma\prime\prime(0)+\cdots+\frac{1}{q\,!}\gamma^{(q)}(0)+\frac{1}{(q+1)\,!}\gamma^{(q+1)}(\theta),$$
где $0\leqslant\theta\leqslant 1$ Если воспользуемся найденными выражениями для производных функции $\gamma$ и учтем, что $\gamma(1)-\gamma(0)=f(a+h)-f(a),$ то получим требуемое равенство.
Примеры решения задач
-
Найти разложение функции по формуле Тейлора второго порядка в окрестности точки $M_{0}(2,1).$ $$f(x,y)=x^{2} \cdot 2^{x-3y},$$ используя найденное разложение, найти приближенное значение функции в точке $M(2,05;0,98).$
Решение
Вычислим все необходимое для решения:
$$f\left(2;1\right)=2^{2}\cdot 2^{2-3}=2;$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\cdot 2^{x-3y}+x^{2}\cdot 2^{x-3y}\cdot \ln {2}; \frac{\partial f}{\partial y}=-3x^{2}\cdot 2^{x-3y} \cdot \ln {2}$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}(2;1)=2\cdot 2^{2-3}(2+2\ln{2})=2(1+\ln{2});$$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}(2;1)=-3\cdot 4 \cdot 2^{2-3} \cdot \ln{2}=-61\ln{2}$$
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2^{x-3y}(2+4x\ln{2}+x^{2}\ln^{2}2); $$$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}= -3x\cdot2^{x-3y}(2+x\ln{2})\ln{2}; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=9x^{2}-2^{x-3y}\cdot \ln^{2}{2};$$
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(2;1)=1+4 \ln{2} + 2 \ln^{2}{2}; \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(2;1)=-6(1+\ln{2})\ln{2}; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(2;1)=18 \ln^{2}{2};$$Запишем формулу Тейлора второго порядка для заданной функции:$$f(x;y)\approx 2+\left(2(1+\ln{2})(x-2)-6\ln{2}(y-1)\right)+$$ $$\frac{1}{2}\left[(1+4\ln{2}+2\ln^{2}{2})(x-2)^{2}-12(1+\ln{2})\ln{2}(x-2)(y-1)+18\ln^{2}{2}(y-1)^{2}\right]$$
Найдём приближенное значение $f(2,05;0,98)\approx 2,087.$
Формула Тейлора для действительных функций
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по прочитанной теме.
Список использованной литературы
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
- В. И. Коляда, А. А. Кореновский КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ часть 1 (2009 года) глава 12.7 стр. 292
