Метка: формулы Ньютона-Лейбница

Формулы Ньютона-Лейбница

Если существует функция [latex]F(x)[/latex], непрерывная на отрезке [latex][a,b][/latex] и такая, что [latex]F(x)=f(x)[/latex] при [latex]a \leq x < b[/latex], то для несобственного интеграла $\int_{a}^{b}f(x)dx$ справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

$$ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$$

Если [latex]f(x)[/latex] непрерывна при [latex]a \leq x < b[/latex] и имеет точку разрыва [latex]x=a[/latex], тогда:

$$ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b)-F(a+\varepsilon)]$$

Если подынтегральная функция не ограничена в отрезке интегрирования ( например [latex]x = c[/latex] ), то эту точку «вырезают», а интеграл $ \int_{a}^{b}f(x)dx$ определяют в предположении, что [latex]F(x)[/latex] — первообразная для [latex]f(x)[/latex], так:

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{c -\varepsilon}f(x)dx + \lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{a}^{c -\varepsilon} + $$
$$ + \lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{c+\varepsilon}^{b}=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c — \varepsilon)-F(a) + F(b) — \lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c+\varepsilon)$$

Если пределы существуют и конечны, то интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Литература

Тест : Формулы Ньютона-Лейбница

Тест на знание темы «Формулы Ньютона-Лейбница»