Пусть $(G,\cdot )$ — группа. Если в группе $G$ $\exists g_{0}\in G$, такое, что $\forall g\in G\;\exists n\in \mathbb{Z}\;g=g_{0}^{n}$, то группа называется циклической. $G=<g_{0}>$, где $g_{0}$ — образующий элемент группы.
Группа целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+)$ циклическая. Её образующими элементами являются числа $\pm 1$.
Лемма
Каждая подгруппа циклической группы сама циклическая.
Доказательство
Пусть $G=<g_{0}>,\;H\subset G,\;G\neq \left \{1 \right \},\;g_{0}^{n}\in H,\;n\in\mathbb{N}$, n — наименьшее. Любой элемент $g\in H$ можно выразить как $g=g_{0}^{m}$. Представим число $m$ в виде $m=nq+r$, где $0\leq r<n$.
Поэтому $g_{0}^{m}=g_{0}^{nq+r}=q_{0}^{nq}\cdot g_{0}^{r}=(g_{0}^{n})^{q}\cdot q_{0}^{r}\Rightarrow g_{0}^{r}=$$=((g_{0}^{n})^{q})^{-1}\cdot g_{0}^{m}\Rightarrow r=0\Rightarrow m\;\vdots\; n$. Следовательно, $g_{0}^{m}=(g_{0}^{n})^{r}\Rightarrow H=<g_{0}^{n}>$, т.е. подгруппа $H$ — циклическая с образующим элементом $g_{0}^{n}$.
Литература
Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
Пусть дана группа [latex](G, \cdot)[/latex]. Если [latex]\exists g_{0}\in G [/latex] такое, что [latex]\forall g\in G[/latex], [latex]\exists n\in \mathbb Z[/latex]: [latex]g=g_{0}^n[/latex], то [latex](G, \cdot)[/latex] называется циклической группой и пишут [latex]G=<g_{0}>_{n}[/latex], где [latex]g_{0}[/latex] образующая и количество элементов, порядок группы, [latex]|G|=n[/latex]. Циклическая группа [latex]G[/latex] называется конечной, если она имеет конечное число элементов, в противном случае группа называется бесконечной.
Теорема Пусть дана циклическая группа [latex](G, \cdot)[/latex] и [latex]G=<g_{0}>_{n}[/latex], тогда эта группа имеет следующий вид: [latex]G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}[/latex].
Доказательство Для доказательства покажем что все элементы нашей группы различные, иначе количество элементов в группе будет меньше её порядка.
Пусть [latex]\exists i<j[/latex] такие, что [latex] 0\leq i<j \leq{n-1}[/latex] и [latex] g_{0}^{i} = g_{0}^{j}\Rightarrow[/latex] [latex]g_{0}^{j-i} = 1[/latex], тогда [latex]\exists m\in \mathbb Z : m=j-i[/latex], следовательно [latex]1\leq m\leq{n-1}[/latex] и [latex]g_{0}^m=1.[/latex] Отсюда [latex]\forall g\in G, g=g_{0}^t, t\in \mathbb Z[/latex] и [latex]t=mq+r, 0\leq r<m,[/latex] тогда [latex]g_{0}^t=g_{0}^{mq+r}=[/latex][latex](g_{0}^m)^q\cdot g_{0}^r\Rightarrow[/latex] [latex]g_{0}^t =1\cdot g_{0}^r=g_{0}^r[/latex], это значит что все элементы группы будут равны [latex]g_{0}^r[/latex], где [latex]\forall t\in \mathbb Z[/latex] существует свой [latex]r[/latex],но [latex]0\leq r<m[/latex], а [latex]1\leq m\leq{n-1}[/latex] мы получаем противоречие, поскольку мы не получим всю группу.
Таким образом [latex]G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}[/latex].
Примеры циклическихгрупп [latex]A=\{1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6\}[/latex] — Конечная иклическая группа, поскольку каждый элемент является значением [latex]2^k, 0\leq k\leq 6[/latex], отсюда образующей этой группы является [latex]2[/latex] и [latex]A=<2>_{7}[/latex].
[latex]A=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \frac{1}{2^6} \}[/latex] — Конечная циклическая группа, каждый элемент является значением [latex](\frac{1}{2})^k, 0\leq k\leq 6[/latex], образующей является [latex]\frac12[/latex] и [latex]A=<\frac12>_{7}[/latex].
