М1579. Нахождение площади шестиугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №3)

Условие

Пусть [latex] A’,B’,C’,D’,E’,F’ [/latex] — середины сторон [latex] AB, BC, CD, DE, EF, FA [/latex] произвольного выпуклого шестиугольника [latex] ABCDEF [/latex]. Известны площади треугольников [latex] ABC’, BCD’, CDE’, DEF’, EFA’, FAB’ [/latex]. Найдите площадь шестиугольника [latex] ABCDEF [/latex].
M1579(1)рис.1

Решение

Заметим, что $$S_{ABC’}=(S_{ABC} + S_{ABD}) / 2,$$ поскольку все эти три треугольника имеют общее основание [latex] AB [/latex] (рис.1) высота [latex] \Delta ABC’ [/latex] равна полусумме высот [latex] \Delta ABC [/latex] и [latex] \Delta ABD [/latex] , опущенных на [latex] AB [/latex]. M1579(2)рис.2

Сложив шесть равенств аналогичных (1), получим, что известная нам сумма [latex]S\prime [/latex] площадей треугольника [latex] ABC’, BCD’, CDE’, DEF’, EFA’, FAB’ [/latex] равна сумме [latex]{ (S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 })/2[/latex], где [latex]S_{1}[/latex]- сумма площадей шести треугольников [latex] ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB [/latex], отрезаемых малыми диагоналями, а [latex]S_{2}[/latex] — сумма площадей треугольников [latex] ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB [/latex] полученных «циклическим сдвигом» вершин из [latex]\triangle ABS[/latex].С другой стороны разрезав шестиугольник так, как показано на рисунке 2, и еще двумя аналогичными способами, получающимися из этого разрезанная «циклическим сдвигом» (в том же направлении [latex]A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow …[/latex]) для площади [latex]S[/latex] шестиугольника получим равенство [latex]3S=S_{1}+S_{2}[/latex]. От сюда [latex]S=2S\prime /3[/latex].

Н.Васильев