Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков определяются при помощи индукции. Если говорить неформально, то каждая частная производная порядка больше чем 1 определяется, как производная от производной предыдущего порядка.
 

Определение

Частная производная (по независимым переменным) от частной производной порядка $m-1$ называется частной производной порядка $m(m=1,2,…)$.
Частная производная, полученная  с помощью дифференцирования по разным переменным, называется смешанной частной производной.
Частные производные высших порядков сохраняют все те же свойства, что и обычные частные производные.

Пример

Пусть дана функция $f(x,y,z)$.
Частной производной первого порядка по $x$ будет $\frac { df }{ dx } $.
Частной производной второго порядка по $x$ будет $\frac { { d }^{ 2 }f }{ d{ x }^{ 2 } } $
Смешанной производной третьего порядка будет $\frac { { d }^{ 3 }f }{ d{ x }^{ 2 }dy }$

Геометрический смысл частной производной

Спойлер

Пусть нам дана функция [latex]z(x,y)[/latex], которая имеет частную производную в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$. Пусть на рисунке изображена поверхность графика функции $z$. Проведем плоскость $y={y}_{0}$. Плоскость пересечет поверхность по линии [latex]T{ P }_{ 0 }[/latex]. Проведем касательную ${ P }_{ 0 }A$ к линии ${ P }_{ 0 }T$. Прямая ${ P }_{ 0 }A$ образует угол $\alpha$ с осью $Ox$. Тангенс угла наклона к оси $Ox$ касательной к графику функции $f(x,{ y }_{ 0 })$ в точке ${ x }_{ 0 }$ и есть частная производная по $x$ функции $z$ в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$.
$$
{\rm \tg}\alpha =\frac { dz({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) }{ dx } ={ f }_{ x }^{ \prime }({ M }_{ 0 })
$$

4

[свернуть]

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Тест на понимание темы «Частные производные высших порядков»

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.

Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.

Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Пусть функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex]. Тогда ее полное приращение в точке [latex]a[/latex] можно записать в виде

[latex]\Delta f(a)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,[/latex]

где [latex]\alpha(\Delta x)\rightarrow 0[/latex] при [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex]. Из этого представления следует, что существует предел

[latex]\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta f(a)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta x_{k}}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)|\Delta x|)}=0[/latex],

означающий, что функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex].

Литература

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Предлагаем проверить свои знания


Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных