Различные типы пределов: односторонние конечные пределы

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{»}[/latex]

Пределы слева и справа называют односторонними пределами.
Соответственно, функция [latex]f(x)[/latex] называется непрерывной слева (справа) в точке [latex]a[/latex], если

[latex]\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\;(\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a))[/latex].

Теорема

Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a.[/latex]

Спойлер

Необходимость.
Пусть в точке [latex]a[/latex] существует конечный предел, то есть [latex]\exists \delta :\forall x\in (a-\delta ;a+\delta )\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)=A[/latex] из чего следует, что этот же предел существует на промежутках [latex](a-\delta ;a)\: \: (a ;a+\delta)[/latex]. Следовательно односторонние пределы существуют и равны между собой.
Достаточность.
Пусть в точке [latex]a[/latex] существуют односторонние пределы, равные между собой [latex]\forall x\in (a-\delta^{‘};a)\: \lim\limits_{x\rightarrow a-0}=A [/latex] и [latex]\forall x\in (a ;a+\delta^{»})\: \lim\limits_{x\rightarrow a+0}=A[/latex] из чего следует, что [latex]\exists \delta_{0}\leqslant min(\delta^{‘} ;\delta^{»}) :\forall x\in (a-\delta_{0};a+\delta _{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=A[/latex].
Теорема доказана. [latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

Пример

Дана функция [latex]f(x)=\rm sgn(x):\: \left\{\begin{matrix}1, x>0;\\ 0, x=0;\\ -1, x<0.\end{matrix}\right.[/latex]
signx
Выяснить существует ли предел в точке [latex]0.[/latex]

Спойлер

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки [latex]0[/latex]. Как видно [latex]\lim\limits_{x\rightarrow -0}\: \rm sgn(x)=-1[/latex] и [latex]\lim\limits_{x\rightarrow +0}\: \rm sgn(x)=1.[/latex] Пределы справа и слева не равны. Согласно вышеприведенной теореме, можно сделать вывод, что предел функции в точке [latex]0[/latex] не существует.

[свернуть]

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
  2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Тест


Таблица лучших: Односторонние конечные пределы

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Различные типы пределов: односторонние конечные пределы: 1 комментарий

  1. Доброго времени суток, не могли бы вы добавить еще определение односторонний пределов по Гейне?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *