Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Определение

Если [latex]x_0=0[/latex] и существует [latex]f^{(n)}(0)[/latex], то формула Тейлора принимает вид:

(1)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Формулу (1) называют формулой Маклорена.

Замечание 1. Пусть функция [latex]f(x)[/latex] бесконечно дифференцируема на интервале [latex](-l, l).[/latex] Если эта функция является четной, то её производнаянечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция.
[latex]\triangle[/latex]Пусть [latex]f(x)[/latex] — четная функция, тогда:
[latex]f(-x)=f(x)[/latex], [latex]x\in(-a, a)[/latex].
Дифференцируя это тождество, получаем
[latex]-f'(-x)=f'(x),[/latex] [latex]x\in(-a, a)[/latex].
Это означает, что [latex]f'(x)[/latex] — нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда [latex]f(x)[/latex] — нечетная функция.[latex]\blacktriangle [/latex]
Отсюда следует, что для нечетной функции [latex]f[/latex] выполняютcя условия [latex]f^{(2k)}(0)=0[/latex], [latex]k\in \mathbb{N}[/latex], а для четной функции [latex]f[/latex] — условия [latex]f^{(2k-1)}(0)=0[/latex], [latex]k\in \mathbb{N}[/latex], так как любая непрерывная нечетная функция принимает при [latex]x=0[/latex] значение нуль.
Поэтому формулу (1) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде:

(2)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

а для нечетной функции — в виде:

(3)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Разложения основных функций

а) Показательная функция. Если [latex]f(x)=e^x[/latex], то [latex]f(0)=1[/latex] и [latex]f^{(n)}(0)=1[/latex] при любом [latex]n[/latex]. Поэтому формула (1) для функции [latex]e^x[/latex] записывается в виде

(4)

[latex]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex],

или

[latex]e^x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

б) Гиперболические функции. Так как [latex]f(x)=\sinh x[/latex] — нечетная функция, [latex]f^{(2k+1)}(x)=\cosh x[/latex], [latex]f^{(2k+1)}(0)=1[/latex] при [latex]k=0, 1, 2,\dots[/latex], то по формуле (3) получаем

(5)

[latex]\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex],

или

[latex]\sinh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Аналогично по формуле (2) находим

(6)

[latex]\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

или

[latex]\cosh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex].

Замечание 2. Так как [latex]\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/latex], [latex]\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex], то формулы (5) и (6) можно получить, используя равенство (4) и равенство [latex]e^{-x}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^kx^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

в) Тригонометрические функции. Функция [latex]f(x)=\sin x[/latex] является нечетной,

[latex]f^{(2n+1)}(x)=\sin (x+\frac{\pi}{2}(2n+1))[/latex],

откуда

[latex]f^{(2n+1)}(0)=\sin (\frac{\pi}{2}+\pi n)=\cos\pi n=(-1)^n[/latex].

Поэтому по формуле (3) находим

(7)

[latex]\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex],

или

[latex]\sin x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Аналогично, [latex]f(x)=\cos x[/latex] — четная функция, [latex]f^{(2n)}(0)=\cos (\frac{\pi}{2}2n)=(-1)^n[/latex], и по формуле (2) получаем

(8)

[latex]\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

или

[latex]\cos x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex].

Замечание 3.Используя формулу (7)

[latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/latex]

Для 2 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}[/latex]
Для 3 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}[/latex]
Для 4 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}[/latex]
sin
Как видно по графику, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 4-5 членами ряда.

г) Степенная функция. Пусть [latex]f(x)=(1+x)^\alpha[/latex], где [latex]\alpha \in \mathbb{R}[/latex]. Тогда [latex]f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))(1+x)^{\alpha-k}[/latex], откуда получаем [latex]f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))[/latex]. Тогда по формуле (1) получим

(9)

[latex](1+x)^\alpha=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Отметим важные частные случаи формулы (9).

  1. (10)

    [latex]\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

    или

    [latex]\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^nx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].
  2. (11)

    [latex]\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

    или

    [latex]\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

д) Логарифмическая функция. Если [latex]f(x)=\ln(1+x)[/latex], то [latex]f(0)=0[/latex], [latex]f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}[/latex], [latex]f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)![/latex], и по формуле (1) находим

(12)

[latex]\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

или

[latex]\ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Заменяя в формуле (12) [latex]x[/latex] на [latex]-x[/latex], получаем

(13)

[latex]\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\dots-\frac{x^n}{n}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

или

[latex]\ln(1-x)=-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Примеры

  1. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки [latex]x_0=0[/latex] до [latex]\circ(x^n)[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}:[/latex]
    Спойлер

    [latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x)^{-\frac{1}{2}}[/latex]. Применяя формулу (9) при [latex]\alpha=-\frac{1}{2}[/latex], получаем:

    [latex](1+x)^{-\frac{1}{2}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1)\dots(-\frac{1}{2}-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex] = [latex]1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{5}{2}\dots(\frac{1+2(k-1)}{2}}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex] = [latex]1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{2^k}\frac{1\cdot 3\cdot 5\dots(2k-1)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex]

    Обозначим [latex](2k-1)!!=1\cdot 3\dots(2k-1)[/latex], тогда:

    [latex]\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k(2k-1)!!}{2^kk!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex]

    [свернуть]
  2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки [latex]x_0=0[/latex] до [latex]\circ(x^n)[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}:[/latex]
    Спойлер

    Используя равенство

    [latex]f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4+ln (1-\frac{x}{5})-\ln (1-\frac{x}{4})[/latex]

    и формулу (13), находим:

    [latex]\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{5^kk}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{4^kk}[/latex] = [latex]\ln \frac{5}{4}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}(\frac{1}{4^k}-\frac{1}{5^k})+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex]

    [свернуть]
  3. Разложить по формуле Маклорена до [latex]\circ(x^{2n+1})[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\cos^4x:[/latex]
    Спойлер

    Используя равенство [latex]\cos^2 x=\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}[/latex], получаем:

    [latex]\cos^4 x=\frac{1}{4}(1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2})=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x[/latex],

    откуда по формуле (8) находим:

    [latex]\cos^4 x=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2x^{2k}}{(2k)!}+\frac{1}{8}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k4x^{2k}}{(2k)!}[/latex] = [latex]\frac{3}{8}+\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2^{2k-1}}{(2k)!}(1+2^{2k-2})x^{2k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex]

    [свернуть]

Литература

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Тесты для самоконтроля


Таблица лучших: Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

максимум из 90 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена: 3 комментария

  1. Иллюстраций нет, терминов почти нет.
    Странно — выглядит не очень, а придраться (кроме указанного выше) особо не к чему.

    1. Добавила больше терминов. А ссылки на эти определения достаточно один раз указать или везде, где встречается этот термин в этой статье?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *