Точки экстремума

Локальный минимум.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит выше [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный минимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Локальный максимум.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит ниже [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный максимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

Это были формальные определения, но можно объяснить иначе:
Возьмем некоторую точку на графике функции и некоторую ее окрестность. Если в окрестности это наивысшая точка, то назовем ее локальным максимумом, если же самая низкая, то минимумом.

inf
sup
Пример

Найти экстремумы функции [latex]f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14.[/latex]

Спойлер

Так как [latex]f'(x) = 6x^{2} — 30x +36 = 6(x -2)(x — 3),[/latex] то критические точки функции [latex]x_{1} = 2 [/latex] и [latex]x_{2}=3.[/latex] Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку [latex]x_{1} = 2 [/latex] производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку [latex]x_{2}=3[/latex] производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке[latex]x_{2}=3[/latex] у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
[latex]x_{1} = 2 [/latex] и [latex]x_{2}=3,[/latex] найдем экстремумы функции: максимум [latex]f(2) = 14[/latex] и минимум [latex]f(3) = 13.[/latex]

[свернуть]

Точки экстремума

Этот тест создан чтобы проверить ваше понимание темы «Точки экстремума»

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.164

Точки экстремума: 1 комментарий

  1. Поставьте возможность нормального завершения теста и проверки правильности ответов. Подключите свои работы к странице Математический анализ.

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *