Наибольшее и наименьшее значения функции

Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Функция $latex f(x)$ принимает наибольшее значение $latex max$ на отрезке $latex [a;b]$ в точке $latex x_{0}$, если $latex x_{0}\epsilon [a;b]$ и $latex \forall x\epsilon [a;b]$: $latex f(x_{0})> f(x).$
Аналогично функция $latex f(x)$ принимает наименьшее значение $latex min$ на отрезке $latex [a;b]$ в точке $latex x_{1}$, если $latex x_{1}\epsilon [a;b]$ и $latex \forall x\epsilon [a;b]$: $latex f(x_{1})< f(x).$

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции $latex f(x)=x^{2}-4x+6$ на сегменте $latex [-3;10]$.

Решение:

Найдем производную функции $latex {f}'(x)=2x-4$.  Найдем точки, в которых производная равна нулю: $latex {f}'(x)=2x-4=0$ $latex \Rightarrow$  $latex x=2$. Значение $latex x=2$ принадлежит сегменту $latex [-3;10]$. Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:

  1. $latex f(2)=4-8+6=2$;
  2. $latex f(-3)=9+12+6=27$;
  3. $latex f(10)=100-40+6=66$.

Таким образом:
$latex f(x)_{min_{[0;5]}}=f(2)=2$;
$latex f(x)_{max_{[0;5]}}=f(10)=66$.

2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра $latex h$, если при заданном объеме площадь полной поверхности $latex S$ является наименьшей.

Решение:

Svg.5.ex

Пусть $latex V$ — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности $latex S=2\pi x^{2}+2\pi hx$, тогда $latex V=S_{1}\times h=\pi x^{2}h$, где $latex S_{1}$ — площадь основания цилиндра $latex \Rightarrow$ $latex h=\frac{V}{\pi x^{2}}$.

Тогда $latex S=2\pi x^{2} +2\pi x\frac{V}{\pi x^{2}}=2(\pi x^{2}+\frac{V}{x})$. Найдем производную $latex {S}’$: $latex {S}’=2(2\pi x-\frac{V}{x^{2}})$. Найдем стационарные точки: $latex {S}’=2(2\pi x-\frac{V}{x^{2}})=0$ $latex \Rightarrow$ $latex {S}’ =\frac{2\pi x^{3}-V}{x^{2}}=0$ $latex \Rightarrow$ $latex x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$. Получим: $latex \frac{x}{h}=\frac{x}{\frac{V}{\pi x^{2}}}=\frac{\pi x^{3}}{V}=\frac{\pi \frac{V}{2\pi }}{V}=\frac{1}{2}$ $latex \Rightarrow$ $latex h=2x$.

Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.

Список литературы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Тест на тему «Наибольшее и наименьшее значения функций».

Таблица лучших: Наибольшее и наименьшее значения функции

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *