Условия монотонности функции в терминах производной

Теорема (критерий возрастания и убывания функции на интервале)

Для того чтобы дифференцируемая функция [latex] f(x)[/latex] на интервале [latex] (a;b)[/latex] была возрастающая, необходимо и достаточно, чтобы [latex]\forall x\in (a;b)[/latex] [latex] f'(x)\geq 0 [/latex].

Доказательство

Необходимость

  • Дано: [latex]f(x)[/latex] возрастает на интервале [latex](a;b)[/latex].
  • Требуется доказать: [latex] f'(x)\geq 0[/latex].

Пусть [latex]x_{0}[/latex] произвольная точка на интервале [latex] (a;b)[/latex], пусть [latex]x>x_{0} [/latex], тогда в силу монотонного возрастания функции [latex] f(x)\geq f(x_{0})[/latex] для любого значения [latex] x[/latex] из интервала [latex] (a;b)[/latex], [latex] x\neq x_{0}[/latex] [latex]\Rightarrow [/latex]

 $latex \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}>0. &s=1 $

По свойству сохранения знака предела:

$latex \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geqslant 0, &s=1 $

а это и есть[latex] f'(x_{0})[/latex].

Достаточность

  • Дано: [latex] f'(x)\geq 0[/latex] .
  • Требуется доказать: [latex]f(x)[/latex] возрастает на интервале[latex](a;b)[/latex].

Пусть[latex] f'(x)\geq 0[/latex] [latex]\forall x\in (a;b)[/latex].
Выберем произвольные точки [latex] x_{1}[/latex] и [latex] x_{2}[/latex], принадлежащие интервалу [latex] (a;b)[/latex], и не ограничивая общности скажем, что [latex] x_{2}>x_{1}[/latex].
Применим к функции [latex]f [/latex] формулу Лагранжа о конечных приращениях:
[latex] f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})\geq 0.[/latex] Из того что [latex] x_{2}>x_{1} => f(x_{2})\geq f(x_{1}) => [/latex]
Доказали нестрогое возрастание.

Теорема (достаточное условие строгой монотонности)

    1. [latex]\forall x\in (a;b)[/latex] [latex] f'(x)>0 \Rightarrow f [/latex] строго возрастает на [latex] (a;b)[/latex].
    2. [latex]\forall x\in (a;b)[/latex] [latex] f'(x)<0 \Rightarrow f [/latex] строго убывает на [latex] (a;b)[/latex].

Доказательство

Пусть [latex] x_{2}>x_{1} [/latex], применим формулу конечных приращений Лагранжа: [latex]f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})>0[/latex], так как [latex]x_{2}>x_{1}[/latex] и [latex]f'(\xi)>0[/latex], то [latex]f(x_{2})<f(x_{1})[/latex].
Пусть [latex] x_{2}<x_{1} [/latex], применим формулу конечных приращений Лагранжа: [latex]f(x_{1})-f(x_{2})=f'(\xi)*(x_{1}-x_{2})>0[/latex], так как [latex]x_{2}<x_{1}[/latex] и [latex]f'(\xi)>0[/latex], то [latex]f(x_{2})<f(x_{1})[/latex].

Пример

Исследовать функцию [latex]f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5[/latex] на возрастание и убывание.

Решение

  1. Функция [latex]f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5[/latex] дифференцируема на [latex]R[/latex], [latex]f'(x)=3x^{2}-6x-9[/latex].
  2. Для определения промежутков возрастания и убывания функции решаем уравнение: [latex]x^{2}-2x-3=0[/latex]. Решениями уравнения являются точки: [latex]x=-1[/latex] и [latex]x=3[/latex], которые разбивают числовую прямую на три отрезка. Получаем:

    E-okr0

    [latex]x^{2}-2x-3>0 \Leftrightarrow x\in ( -\infty ;-1) \cup (3;+\infty)\Rightarrow f(x)[/latex] возрастает на отрезках [latex] x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty)[/latex]
    [latex]x^{2}-2x-3<0\Leftrightarrow x\in \left ( -1;3 \right )\Rightarrow f(x)[/latex] убывает на отрезке [latex]x\in [-1 ;3][/latex].

  3. Выполним проверку
    Для проверки построим график этой функции.

    график

    Ответ:

    [latex]f(x)[/latex] возрастает на отрезках [latex] x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty)[/latex].
    [latex]f(x)[/latex] убывает на отрезке [latex]x\in \left [ -1 ;3\right ][/latex].

  4. Источники:

    Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

    Проверьте себя на знание теоретического и практического материала по теме: Условия монотонности функции в терминах производной.


    Таблица лучших: Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

    максимум из 8 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

Условия монотонности функции в терминах производной: 1 комментарий

  1. Точно h1,… h6 недостаточно и нужны индивидуальные стили? Представьте все страницы в учебнике одинаковые, а на одной заголовки зелененькие. Читатель же начнет в этом смысл искать. А смысла-то и нету…
    Не нужно подчеркивать заголовки — их будут путать с гиперссылками. Это как нарисованный очаг в каморке папы Карло — не греет, а только вводит в заблуждение.
    Нет такого слова «Теорема(критерий». Может быть где-то пропущен пробел?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *