Замена переменной при вычислении предела

Теорема

 

Если существуют

\lim_{x\to a}\varphi (x)=b и \lim_{y\to b}f(y)=A

причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки a выполняется условие \varphi (x)\neq b , то в точке a существует предел сложной функции f(\varphi (x)) и справедливо равенство

\lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A


Спойлер

Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне

\forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a  \Rightarrow  \{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b  \Rightarrow  f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A

[свернуть]

Примеры

Спойлер

Доказать что     \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1

\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=  \left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]=  \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1 (см. Первый замечательный предел)

[свернуть]
Спойлер

Доказать что     \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1

\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=  \left [ t=arctg(x), t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right]=\lim_{t \to 0}\frac{t}{tg(t)}=\lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}cos(t)=1(см. Первый замечательный предел)

[свернуть]

Тест

Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 112-113)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 68-69)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *