Подпоследовательности. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы


Подпоследовательности

Определение.

Пусть задана некоторая последовательность {$latex x_n$} и
$latex n_1<n_2<…<n_k<…$
есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел.Тогда последовательность
$latex {x_n}_1, {x_n}_2,…{x_n}_k…$
называется подпоследовательностью последовательности {$latex x_n$}.

Пример.
Пусть задана последовательность

$latex 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},..,\frac{1}{n},…$
Запишем некоторые ее подпоследовательности:

$latex 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},…,\frac{1}{2n-1}…$  $latex (n_1=1,n_2=3,…,n_k=2k-1,…)$;

$latex \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},…,\frac{1}{2^n},…$    $latex (n_1=2,n_2=4,…,n_k=2^k,…)$;

$latex \frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{15},…,\frac{1}{5n},…$  $latex (n_1=5,n_2=10,…,n_k=5^k,…)$;
Но последовательность

$latex 1,\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{4},…,\frac{1}{n},…$
уже не является подпоследовательностью последовательности $latex 1,\frac{1}{2},..,\frac{1}{n},…$.

Определение.
Будем писать
$latex x \to +\infty$ $latex (\lim\limits_{x \to \infty }=+ \infty)$
и говорить, что последовательность {$latex x_n$} стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа $latex c $ найдется номер $latex N \in \mathbb{N}$, такой что $latex x_{n}>c$ при любом $latex n>N.$
Аналогично даются определения для случая $latex x \to -\infty$,$latex x \to \infty.$


Частичный предел последовательности

Определение.
Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

Пример.

Пусть $latex {x_n}=(-1)^{n}.$Эта последовательность расходится, но ее подпоследовательности $latex x_{2k}$ и $latex x_{2k-1}$ сходятся соответственно к 1 и -1.Таким образом эти числа являются частичными пределами последовательности  $latex {x_n}=(-1)^{n}.$


Верхний и нижний пределы

Определение.
Пусть {$latex x_n$} — некоторая последовательность, а $latex L $ — множество всех её частичных пределов.Тогда $latex supL $ — называется верхним пределом последовательности и обозначается $latex supL=\varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{n}.$

Нижний предел:

$latex infL=\varliminf\limits_{n \to \infty} x_{n}$

Пример 1.

Для последовательности $latex x_{k}=(-1)^{k}$:

$latex \varliminf\limits_{n \to \infty} x_{k}=$$latex \lim\limits_{n \to \infty}\inf\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(-1)=-1.$

$latex \varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{k}=$$latex \lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(1)=1.$

Пример 2.

Для последовательности $latex x_{k}=-k^{2}$:

$latex \varliminf\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=-\infty.$

$latex \varlimsup\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=$$latex \lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-k)^{2}=\lim\limits_{n \to \infty}(-n^{2})=-\infty.$

 Литература.

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  • Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1,стр. 94

Подпоследовательности. Частичный предел последоват ельности. Верхний и нижний пределы

Тест

 

 

 

Подпоследовательности. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы: 1 комментарий

  1. Формулы не должны быть картинками даже в тестах.
    Обязательно проставьте метки (это ключевые слова и словосочетания для поиска)
    Почему Вы объединили несколько записей в одну? Разве так было на страничке «Математический анализ»?

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *