Теорема о существовании верхней и нижней грани

Если $latex X \neq \varnothing$ и $latex X$ — ограничено сверху (снизу) в $latex \mathbb{R}$, то $latex \exists \sup X<\infty. (\exists \inf X>-\infty)$

$latex \square$ Докажем случай для supremum’а.

Пусть $latex E$ — множество всех верхних границ множества $latex X$, то есть $latex X\leq E.$ По аксиоме непрерывности $latex \exists c \in \mathbb{R}:X\leq c \leq E.$

71

$latex \left.\begin{matrix}
X\leq c\leq E; \Rightarrow X\leq c;\\X\leq c\leq E; \Rightarrow c\leq E;
\end{matrix}\right\} \Rightarrow c=\sup X<\infty.$ $latex \blacksquare$

Аналогично доказывается существование infimum’а.

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.8.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.45.

Подробнее на:

Wikiversity

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *