Дифференцируемость и арифметические операции

Если функции [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] дифференцируемы в точке [latex]x[/latex], то в этой точке также дифференцируемы следующие функции: [latex]\alpha f(x)\pm\beta g(x)[/latex], [latex]f(x)g(x)[/latex], [latex]\frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)[/latex];

Причём:

  1. [latex]{[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)[/latex]([latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — некоторые константы);
  2. [latex]{[f(x)g(x)]}’ = {f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)[/latex];
  3. [latex]{[\frac {f(x)}{g(x)}]}’ =\frac{{f}'(x)g(x) — f(x){g}'(x)}{[g(x)]^2} (g(x) \neq 0)[/latex];

Доказательство :

  1. Достаточно доказательства для случая [latex]y(x) = \alpha f(x) + \beta g(x);[/latex]
    [latex]y(x) = {\alpha f(x) + \beta g(x)} \Rightarrow\Delta y=[/latex]
    [latex]=y(x + \Delta x) — y(x) = \alpha f(x + \Delta x) + \beta g(x+\Delta x) — \alpha f(x) — \beta g(x)=[/latex]
    [latex]=\alpha f(x+\Delta x) -\alpha f(x)+\beta g(x+\Delta x) — \beta g(x) =[/latex]
    [latex]=\alpha \Delta f(x) + \beta \Delta g(x) \Rightarrow[/latex] [latex]\frac{\Delta y}{\Delta x} =[/latex] [latex]=\frac{\alpha\Delta f(x)+\beta \Delta g(x)}{\Delta x}=[/latex]
    [latex]\alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} +\beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} \underset{propetiesoflimits}{\Rightarrow} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =[/latex] [latex]={y}'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} = \alpha{f}'(x)+\beta{g}'(x)[/latex]
    [latex]\Rightarrow[/latex] В общем случае: [latex]{[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)[/latex];
  2. [latex]y(x)=f(x)g(x) \Rightarrow \Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) =[/latex]
    [latex]= f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) — f(x)g(x) = [f(x) + \Delta f(x)][g(x) + \Delta g(x)] — f(x)g(x) =[/latex]
    [latex]= \Delta f(x)g(x) + \Delta g(x)f(x) + \Delta f(x) \Delta g(x) \Rightarrow[/latex]
    [latex]\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x) + \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}f(x) + \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Delta g[/latex]
    При переходе к пределам получим следующее:
    [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = {f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)+{f}'(x)0([/latex]в силу непрерывности дифференцируемой функции [latex]g(x), \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta g(x)=0);[/latex]
    [latex]\Rightarrow {y}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)[/latex], что и требовалось доказать;
  3. [latex]y = \frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)\Rightarrow[/latex]
    [latex]\Delta y = \frac{f(x+\Delta x)}{g(x + \Delta x)} — \frac{f(x)}{g(x)}=[/latex]
    [latex]= \frac{f(x) + \Delta f(x)}{g(x) + \Delta g(x)}- \frac{f(x)}{g(x)} =[/latex]
    [latex]\frac{\Delta f(x)g(x) + f(x)g(x) — f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}=[/latex]
    [latex]\frac{\Delta f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}[/latex]
    [latex]\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{\Delta f(x)g(x)}{\Delta x} — \frac{\Delta g(x)f(x)}{{\Delta x}}}{[g(x)]^2+[\Delta g(x)]^2}[/latex]
    Перейдя к пределам получим:
    [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = \frac{{f}'(x)g(x) — {g}'(x)f(x)}{[g(x)]^2}[/latex], что и требовалось доказать.

Замечание: Из определения дифференциала и формул дифференцирования 1,2 и 3 следует, что:

  • [latex]d(\alpha f+\beta g)=\alpha df + \beta dg;[/latex]
    Другими словами оператор дифференцирования является линейным оператором.
  • [latex]d(fg) = gdf + fdg;[/latex]
  • [latex]d(\frac{f}{g}), g \neq 0 = \frac{gdf — fdg}{g^2};[/latex]

Примеры:

  • Условие: Найти производную функции [latex]f(x)=e^{3x}+\frac{4x}{x^{2}}[/latex]
    Решение:
    Найдём производную по 1-ому правилу: [latex]{(e^{3x}+\frac{4x}{x^{2})}}’=3e^{3x}+{(\frac{4x}{x^{2}})}'[/latex], теперь по 3-ему правилу:[latex]{(\frac{4x}{x^{2}})}’=\frac{4x^{2}-8x^{2}}{x^{4}}[/latex], итого получаем, что [latex]{(e^{3x}+\frac{4x}{x^{2})}}’=3e^{3x}-\frac{4x^{2}}{x^{4}}[/latex]

Тест:

Простой тест для проверки усвоения правил дифференцирования.


Таблица лучших: Правила дифференцирования

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 111-112.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Дифференцируемость и арифметические операции: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *