Дифференцируемые функции и дифференциал

Определение: Если функция [latex]f[/latex] определена в окрестности точки [latex]x_{0}[/latex] и [latex]f(x)-f(x_{0}) =[/latex][latex] A\Delta x + \Delta x\alpha(\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0[/latex], а [latex]A[/latex] — некоторая константа, то функцию [latex]f[/latex] называют дифференцируемой в точке [latex]x_{0}[/latex] и [latex]A\Delta x = df(x_{0})[/latex] называется дифференциалом функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex] дифференцируема в любой точке [latex]x_{0} \in (a, b)[/latex], то функция [latex]y[/latex] называется дифференцируемой на промежутке [latex](a, b)[/latex].

Замечание: Если [latex]y = f(x)[/latex] — дифференцируема на промежутке [latex](a, b)[/latex] и [latex]\exists {f}_{+}'(a) = \lim\limits_{x \to a+0} \frac{\Delta y}{x-a}[/latex] и [latex]\exists {f}_{-}'(b) = \lim\limits_{x \to b-0} \frac{\Delta y}{x-b}[/latex], то функция [latex]y[/latex] называется дифференцируемой на отрезке [latex][a, b][/latex].

Критерий дифференцируемости функции

Формулировка:

Функция [latex]f[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex] тогда и только тогда, когда она имеет производную в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Доказательство:

Необходимость:
[latex]f(x) — [/latex]дифференцируема в точке [latex]x_{0} \Rightarrow \exists A:[/latex][latex]\Delta f(x) = A\Delta x+\Delta x \alpha(\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x)= 0 \Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=[/latex] [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{A\Delta x +\Delta x\alpha(\Delta x)}{\Delta x} =[/latex] [latex] \lim\limits_{\Delta x \to 0} A + \alpha(\Delta x) =[/latex] [latex] A\Rightarrow \exists {f}'(x_{0}) = A \Rightarrow dy =[/latex] [latex] {f}'(x_{0})\Delta x.[/latex]

Достаточность:
[latex]\exists {f}'(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Rightarrow [/latex] [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} — {f}'(x_{0}) =[/latex] [latex] \alpha (\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha (\Delta x) = 0[/latex] [latex]\Rightarrow \Delta f(x) = {f}'(x_{0})\Delta x + \alpha (\Delta x)\Delta x[/latex], а это и означает, что функция [latex]f(x)[/latex] — дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex].

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.


Таблица лучших: Дифференциал и дифференцируемость

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (Часть 1, стр. 107-108.).
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Дифференцируемые функции и дифференциал: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *