Свойство монотонности интеграла

$latex \square$Пусть $latex \phi(x) \equiv f(x)-g(x)$, тогда $latex \phi \in R[a,b]$ и $latex \phi \geqslant 0$. По свойству интеграла от положительной функции

$latex \int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx \geqslant 0 $,

тогда получим что

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \int\limits_{a}^{b}g(x)dx$.

Что и требовалось доказать.$latex \blacksquare$

Заметим, что $latex \ln{x}\geqslant \ln{3}>\ln {e=1},\forall\;x\in[3,4]$ поэтому $latex \ln^{2}{x}>\ln{x},\;\forall\;x\in[3,4]$. Тогда, по свойству монотонности интеграла  $latex \int\limits_{3}^{4}\ln{x}dx < \int\limits_{3}^{4}\ln^{2}{x}dx$.